自动控制原理2-6次课

第二章控制系统的数学模型 本章五次课 第一节基本概念第二节微分方程的建立第三节传递函数第四节动态结构图 方框图 第五节动态结构图的等效变换求传递函数第六节信号流图和梅逊增益公式第七节控制系统的典型传递函数第八节典型环节的传递函数 单元内容总结 第一节基本概念 一 控制系统数学模型的定义描述系统输入与输出动态关系的数学表达式 二 建立控制系统数学模型的意义数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件 三 建立控制系统数学模型的方法1 理论建模 2 试验建模3 系统辨识四 控制系统数学模型的几种形式1 微分方程2 方框图 信号流图 传递函数 3 频率特性 第二节微分方程的建立 一 微分方程的建立1 无源 有源电网络模型实例2 机械位移实例3 机械旋转实例4 直流电动机系统实例二 非线性模型的线性化1 线性模型的特征 齐次性和叠加性2 非线性模型线性化问题的提出 理论研究和工程应用的需要3 线性化的基本方法 静态工作点附近非线性微分方程的线性化 级数展开 非线性微分方程的线性化4 液位系统线性化模型求取应用实例三 控制系统数学模型特征1 微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数 2 同一个系统 选择不同输入或输出信号 微分方程的形式则不同 3 数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据 课后练习一 无源 有源电网络模型实例 解题步骤及求取过程确定图示无源的网络的输入ur t 和输出uc t 依据回路电压定律 设置中间变量回路电流i t 从输入到输出建立原始微分方程组 代入消元 获仅含输入输出变量的线性连续微分方程 消除中间变量i t 化微分方程为规范结构形式 有源网络求解类似 机械位移实例 解题依据运动学定律 作用力 反作用力 F ma 求取过程输入外力F t 输出质量模块m的位移y t 机械旋转实例 解题依据运动学定律 作用力矩 反作用力矩 M Ja求取过程输入动力矩Mf 输出物体旋转角度 或角速度 直流电动机系统实例 解题依据基尔霍夫定律 运动学定律 直流发电机相关定律 求取过程电网络平衡方程电动势平衡方程机械平衡方程转矩平衡方程 空载ML 0 非线性微分方程的线性化 小偏差法 1 原则 对于不太严重的非线性系统 可以在一定的工作范围内线性化处理 工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数 去掉高次项以得到线性函数 2 举例 一个自变量 直流发电机直流发电机的输出电势与磁通成正比 在一定范围内与励磁电流成正比 但if增加到某个范围后 磁路饱和 发电机的电势与励磁电流呈现一种连续变化的非线性函数关系 设 x 励磁电流 y 发电机的输出电势 y f x 设原运行于某平衡点 静态工作点 A点 x x0 y y0 且y0 f x0 B点 当x变化 x y y0 y函数在 x0 y0 点连续可微 在A点展开成泰勒级数 即略去高次项 两个自变量 y f x1 x2 静态工作点 y0 f x10 x20 在y0 f x10 x20 附近展开成泰勒级数 即函数变化与自变量变化成线性比例关系 3 注意 适用于不太严重的非线性系统 其非线性函数可利用泰勒级数展开 实际运行情况是在某个平衡点附近 且变量只能在小范围内变化 k值随静态工作点而变 只适用于无间断点 折断点的单值函数 液位系统线性化模型求取应用实例 求取过程确定系统的输入和输出建立原始方程组非线性模型线性化系统微分方程的求取 课后练习一 习题1建立图示电网络输入电压和输出电压之间的微分方程 习题2建立图示初箱输入流量和末箱水位之间的微分方程 两个水箱的横截面积分别为C1和C2 第三节传递函数 问题的提出传递函数的定义及表示形式零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值 有理真分式多项式输出响应象函数为 传递函数的特征及性质传递函数的求取方法 传递函数的特征及性质 1 传递函数表征了系统对输入信号的传递能力 是系统的固有特性 与输入信号类型及大小无关 2 传递函数只适用于线性连续定常系统 3 传递函数仅描述系统的输入 输出特性 不同的物理系统可以有相同的传递函数 同一系统中 不同物理量之间对应的传递函数也不相同 4 初始条件为零时 系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数 5 实际系统中有n m n称为系统的阶数 6 传递函数是系统性能分析的最简形式之一 可以写成首一型和尾一型 上式中 零极点形式传递函数的增益 分子多项式N 0的根 称为零点 分母多项式M 0的根 称为极点 M s 0是控制系统的特征方程式 它与微分方程式的特征方程式一一对应 zi pi可为实数 虚数 或复数 若为虚数 或复数 必为共轭虚数或共轭复数 注意 只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时 传递函数的零 极点才会和系统的零 极点完全相同 分母多项式的阶次才代表系统的阶次 传递函数还可用时间常数的形式来表示尾一型上式中 分子各因子的时间常数 分母各因子的时间常数 时间常数形式传递函数的增益 通常称为传递系数 7 只表示单输入和单输出 多输入和多输出只能用传递函数阵 传递函数的求取方法及应用举例 方法一 依据系统微分方程求确定输入 输出间的传递函数方法二 依据原始方程组代入消元求传递函数方法三 电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数方法四 依据系统的输入输出信号求传递函数 方法二举例 解题过程 注意 负载效应 方法三举例 解题过程 应用复阻抗概念和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化 方法四举例 系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为 求传递函数 第四节动态结构图 方框图 方框图的组成信号线方框引出点和点方框图的特点系统结构直观明了 且具有明确的物理意义和数量关系 是定量分析系统性能最直观的图形表示方法 简化复杂系统传递函数的求取过程 便于在不同输入或输出情况下全面分析系统性能 便于进行控制系统的设计与改造 方框图的绘制 方框图的绘制 绘制依据 基于系统物理模型对应的原始方程组的象函数表达式 或基于电网络的复阻抗表示形式 绘制思路 从系统的输入到输出 按信号的传递方向和形式以及传递强度 分别用信号线 方框 和点或引出点依次表示成图形的形式 应用举例 双容水箱无源网络 课后练习二 双容水箱 依据原始模型 无源网络 无源网络依据复阻抗概念直接绘制 课后练习二 习题1绘制图示电网络的方框图 求输出电压与输入电压之间的传递函数 习题2绘制图示液位系统的方框图 求初级水箱入口流量与末级水箱水位之间的传递函数 第五节方框图等效变换求传递函数 方框图的等效变换法则基本变换法则串联并联反馈连接移动变换法则和点互换引出点互换和点与方框的互换引出点和方框的互换等效变换应用举例 变换准则 变换前后变换部分的所有外部信号等价 课后练习三 基本变换法则 串联 并联 负反馈联结 移动变换法则 和点互换引出点互换 移动变换法则 和点与方框的互换引出点和方框的互换 综合点与引出点之间一般不能互相变位 这一点应该注意 如图所示 这种变位是错误的 因为变换前后输出量发生了变化 图综合点和引出点错误变位 等效变换应用举例1 X Y 解开铰链为独立回路 方法 引出点往一起移动 或和点往一起移动 等效变换应用举例2 化整为零 方法 消除独立的串联 并联和反馈回路 课后练习三 第六节信号流图和梅逊增益公式 信号流图的组成节点 表示信号 节点分为三种 源节点 汇节点和混合节点 支路 信号传递的方向和大小 信号流图与动态结构图 方框图 对应关系 方框与支路 和点 引出点 信号线与节点 由方框图绘制信号流图由信号流图绘制方框图梅逊增益公式利用梅逊增益公式求传递函数 由方框图绘制信号流图 梅逊增益公式 下一页动画 基本术语前向通路 前向通路增益 回路 回路增益 互不接触回路及增益 梅逊公式输入与输出之间的传递函数 特征式对应于第K条前向通路的余子式 特征式 前向通路条数 第K条前向通路的增益 系统信号流 利用梅逊增益公式求传递函数 基于信号流图基于方框图 局部应用梅逊公式 简化求取过程 第七节控制系统的典型数学模型 系统开环传递函数给定输入下的闭环传递函数扰动输入下的闭环传递函数给定输入下的误差传递函数扰动输入作用下的误差传递函数系统总输出响应象函数 系统总误差响应象函数 特征方程 求取举例 第八节典型环节的传递函数 比例环节延迟环节微分环节 理想和实际 积分环节一阶惯性环节一阶微分环节二阶振荡环节二阶微分环节 课后练习四 课后练习四 单元总结 主要内容解题类型单元测验 主要内容 数学模型的定义建立数学模型的意义数学模型的形式 微分方程 方框图 信号流图和传递函数 控制系统数学模型种类 开环 确定输出 输入的闭环 特征方程 建立数学模型的方法 理论推导 实验法 系统辨识 在系统性能分析中 所需系统数学模型的常见种类 开环传递函数 典型环节的乘积形式 零极点分布形式 闭环传递函数 给定输入下的闭环和扰动输入下的闭环 误差传递函数 给定输入下的误差和扰动输入下的误差 特征方程 解题类型 基于物理模型求传递函数 电网络 运动 液位 基于物理模型绘制方框图求传递函数基于定义 输入输出 求传递函数基于方框图求传递函数 等效变换 梅逊公式 开环确定输出 输入的闭环特征方程 等效变换和梅逊公式的局部应用开环传递函数 各种闭环传递函数 特征方程之间的关系传递函数和微分方程之间的转换关系 单元练习 1 已知单位负反馈系统的开环传递函数 求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 2 试绘制下图所示无源网络方框图并求传递函数 其中R1 R2