中考复习讲座11(等腰三角形和直角三角形)

等腰三角形和直角三角形 回民中学付灵强 等腰三角形和直角三角形 知识要点1 1 掌握等腰三角形的两底角相等 底边上的高 中线及顶角平分线三线合一的性质 2 掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法 能够灵活应用它们进行有关的论证和计算 例1 如图 等腰 ABC两腰上的中线BD CE交于O点 求证 BOC和 EOD都是等腰三角形 证明 AB AC 且BD CE为中线 练习1 02河北 在 ABC中 B和 C的平分线相交于点F 过点F作DE BC交AB于D 交AC于E 若BD CE 9 则线段DE的长为 9 练习2 ABC中 AD既是角平分线又是中线 则 ABC是等腰三角形吗 为什么 E 例2 AD是 ABC为角平分线 BE AD交AD的延长线于E EF AC交AB于F 求证 AF FB EF AC 2 AEF 1 AEF AF FE BE AE BEF FEA 90 ABE 1 90 ABE FEB BF EF AF FB G 证法二 延长BE AC相交于G AE平分 BAG 1 2 AE BG AEB AEG 900 AE AE ABE AGE BE EG EF AC F是AB中点 AF FB 1 例3 1 如图 已知 ABC和 A B C都是等边三角形 B 在BC上 求证 AB A B 证明 ABC和 A B C 都是等边三角形 B C A CAC BC ACB 60 BCA ACB BCA AB A B 2 如图保持 1 中的 ABC不动 把 A B C绕点C按逆时针方向旋转一个角度 此时 AB 与A B是否仍然相等 若相等给出证明 若不相等 说明理由 答 仍有AB A B 证明 在 ACB 和 BCA 中 B C A C ACB 60 BCA 又AC BC 所以 ACB BCA 故AB A B 知识要点2 1 掌握勾股定理 会用勾股定理进行有关的证明和计算 2 会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形 例4 四边形ABCD中 AB AD 8 A 60 D 150 四边形的周长为32 求四边形ABCD的面积 解 连BD AB AD 8 A 60 ABC是等边三角形 ADB 60 BD 8 ADC 150 BDC 90 设CD 则BC 16 在Rt BCD中 BD2 CD2 BC2有82 2 16 2 6 例5 已知 正方形ABCD 点E是DC中点 F是BC上一点 BF 3FC 求证 AEF为直角三角形 证明 设正方形边长为4a 有 知识要点3 1 理解线段的垂直平分线的概念 掌握 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 的定理 2 了解轴对称及轴对称图形 会画对称轴及画与已知图形成轴对称的图形 例6 已知 如图 ABC中 AB AC A 120 AB边的垂直平分线交BC于D 求证 DC 2BD 例7 已知同一平面内直线AB和任意两点M N 在直线AB上取一点P 使点P到点M N的距离和最小 解 由于M N与直线的位置关系没有确定 故可分为以下几种情况 P 2 点M N只有一个点在直线AB上 则点M就是所求的点P 1 点M N都在直线AB上 则点P是线段M N上 包括点M和N 的任意一点 P 3 点M N都在直线AB外 分以下两种情况 M N在直线AB两侧 P 连结M N交AB于P 则点P就是所求的点 M N在直线AB同侧 M N P B A M 做点M关于直线AB的对称点M 连结M N交直线AB于点P 则PM PN最小 练习1 小明在距河边4百米的A处放牛 A处位于他家B的西8百米 北7百米 小明晚上要去河边给牛饮水 他给牛饮水再回家的最近距离是 A 19百米B 16百米C 17百米D 18百米 E F C C P 3 2 练习2 如图 在y轴上求一点P 使PA PB的值最小 解 作点B关于y轴的对称点C 则 则点C的坐标为 3 2 连结AC交y轴于点P 设过AC的直线的解析式为y kx b 于是有 例8 求证 1 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 A G E D C B F H 已知 点D是等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点 DE AB于点E DH AC于点H BF AC于点F 求证 BF DE DH 证明 过点D作DG BF于点G DH ACBF AC 四边形DHFG是矩形 DH GF 又 DG AC C GDB AB AC ABC C ABC GDB DE AB DEB BGD BD DB BDE DBG BG DE BF DE DH 2 填空并证明 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离 G 之差等于一腰上的高 已知 点D是等腰三角形ABC的底边BC延长线上的任意一点 DE AB于点E DH AC于点H BF AC于点F 求证 BF DH DE 简证 过点D作BG