概率与数理统计-2-2

,第二章 随机变量及其分布,2.3 连续型随机变量,前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间0,+)， 因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b上的概率(ab)。,设X 是随机变量,如果存在非负函数,使得对任何满足 的,有,一 定义,则称 X 是连续型随机变量,称 是 X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度,1 o,2 o,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.v.X的概率密度函数的充要条件.,这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度.,表示r.v.X 取值于 的概率近似等于,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,注 意,即密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率 就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,这是因为,注: 由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太 大的意义, 我们所关心的是它在某一区 间上取值的问题,2) 由P(X=a)=0 可推知,可见，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=,由此得，,1) 对连续型 r.v X,有,例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解: 由密度函数的性质,求： 常数 c;,例1（续）,例1（续）,例2 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其密度函数为,(1) 求常数 c,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,解,(1) 令,c = 1000,(2),一个电子管使用1500小时后只有两个结果：A（坏掉，表示一个电子管的寿命小于1500小时）和其对立事件,设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y,(3) 3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(1) 均匀分布,常见的连续性随机变量的分布,若 X 的 概率密度 为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,.,（1）,（2）,均匀分布密度函数演示,X,X,a,b,x,l,l,0,即,在区间（a , b） 上服从均匀分布的随机变量 X ，落在区间（a , b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的,均匀分布的意义,说 明,1. 类似地，我们可以定义区间,还可以将密度 写成,2. 采用 的示性函数,上的均匀分布,例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在7:00； 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,例2 设随机变量XU1, 6 ，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解 当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,(2) 指数分布,若 X 的概率密度为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作, 0 为常数,指数分布的另一种等价定义,X 的密度函数为,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命” 分布的近似,例1,令：B= 等待时间为1020分钟 ,例2.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？,解,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,(3) 正态分布,若X 的概率密度为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,亦称高斯(Gauss)分布,正态概率密度函数的几何特征,f ( + x) = f ( - x),曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线, 位置参数, 形状参数,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,0.2,由图,