概率与数理统计-4-2

第四章 数学期望和方差,4.3 随机变量的方差,试问哪个射手技术较好?,解,甲射手,乙射手,偏离程度的平均值（平均偏离）,平均偏离,平均偏离,一. 方差的定义,(X - EX)2 随机变量X 的取值偏离平均值的 情况, 是X的函数, 也是随机变量,E(X - EX)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数,注:,方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度, D(X)0,与X量纲相同,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 .,二、方差的计算,（1）若 X 为离散型 r.v.，分布律为,（2）若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x),（3）计算方差的常用公式：,证明,三. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,证明,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,= EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),而,= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y)=0,（4） D（X）= 0 的充要条件是P X = E(X) =1,（5）D(aX+b ) = a2D(X),推广 若X1, X2, , Xn相互独立，,为常数，则有,标准化随机变量,为 X 的标准化随机变量.,四. 常见分布的数学期望和方差,1) 0 - 1分布 概率分布为,2）泊松分布 设 X P (), 求 DX,D（X）=E（X2）- E（X）2,3） 设 X B( n , p)，求 DX,解一 仿照上例求DX,解二 引入随机变量,相互独立，,故,4) 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为：,求 DX,5) 指数分布 设X E() 概率密度为：,故,解,于是,6) 正态分布,f(x),x,0,若固定,改变,则越大,曲线越平坦, 越小,曲线越陡峭,大,方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同2的密度曲线反映出来:,注：仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：,与,它们有相同的期望,方差但是分布却不同,但若已知分布的类型及期望和方差，常能确定分布,例 已知 X 服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函数,解,例1 已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ),解,故,五.应用举例,例2 已知 X 的密度函数为,其中 A ,B 是常数，且 EX = 0.5,求 A ,B 设 Y = X 2, 求 EY ,DY,解 (1),(2),例3 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y ),解,1,1,0,六 两个不等式,定理3.2 (马尔可夫(Markov)不等式)：对随机变量X 和任意的 0，有,证明: 设为连续型, 密度函数为f(x), 则,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马尔可夫不等式中取=2, X为X-EX 得,是概率论中的一个基本不等式.,注1 ：由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,注2 ：,例 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n .,则 XB(n, 0.75),所求为满足,D(X)=0.750.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),= P |X-E(X)| 0.01n,可改写为,P |X-E(X)| 0.01n,依题意，取,解得,定理3.3 (内积不等式或Cauchy-Schwarz