课本例题的拓展 (2).doc

充分发挥教材例题的教育功能谈教材例题的挖掘与拓展笔者经常去本市的一些重点学校听示范课、观摩课，发现一些教师在教学中并不太在喜欢使用课本中的例题，而往往是从一些教辅材料中转引例题或者干脆使用高考题，与他们交流这是为什么，他们普遍认为教材中的例题过于简单，对训练学生（特别是好学生）的数学思维并没有多大帮助，对此，笔者并不能苟同，笔者通过多年的教学实践认识到，教材中的多数例题具有较强的基础性，入口浅，利于学生（特别是初学者）进入，有助于学生双基的夯实，同时，教材中的许多例题还能进行深入的挖掘与拓展，这对于深化学生的数学思维能力是非常有帮助的，因此，笔者认为教师必须对教材中例题的教育价值要有充分的认识，认真研究这些例题，从不同方面对这些例题进行挖掘与拓展，使教材的教育功能得到最大的发挥。现以人教版全日制普通高级中学教科书数学各册中的几道例题为例，说明如何对教材中的例题进行拓展。一、方法拓展数学问题的一题多解是常谈常新的话题，对学生进行一题多解的训练，可以培养学生思维的灵活性与广阔性，不同的方法对同一题来说也许难简各异，但它们却可应用于不同的背景之下，对某题来说较难的方法，在另一题的背景之下也许会成为通法甚至是唯一方法，而且多解常常沟通了数学中多方面的知识甚至其它学科的知识，这对夯实学生的基础也是非常有利的。例：求证教材中的基本证法是分析法，利用分析法证明之后，可让学生再利用综合法及平方后作差比较的方法进行证明，完成后，教师继续提示学生，在有关二次根式的问题中，除了可通过平方进行转化，还可怎样转化，引导学生发现分子有理化的方法：由于，所以成立，故原不等式成立之后，教师引导学生观察根号下各数的关系，可发现它们成等差数列，于是原不等式可变形成为：，由此学生又发现此题还可利用前一节课习题中的均值不等式（当且仅当a=b时，取“=”）进行证明。在课外兴趣小组活动中，教师承接以上方法，引导学生探究这种方法的数学本质，发现这种方法与函数的凹凸性有关（函数的凹凸性在前面已结合高一上册教材中第二章复习参考题B组第三题在课外兴趣小组向学生介绍过），因此只要证明了该函数的凹凸性，也就能够证明原不等式成立，这样学生又掌握了利用函数凹凸性证明不等式的方法。二、联系拓展辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐蔽，数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，这个揭示关系的过程，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。对数学解题方法的拓展其实也是一种联系性的拓展，但数学教学中的联系性拓展还不仅局限于此，它还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一等。例：如图，与不共线，（tR），用，表示这是平面向量的一个重要例题，例题的结论是平面向量基本定理的一种特殊形式，由例题可得：=x+y（其中x+y =1），解决例题后，教师要引导学生探究其逆命题：“如果与不共线，对于点P满足关系式=x+y（其中x+y =1），那么P、A、B三点共线。”是否成立。学生通过探究，发现此命题是成立的。但对例题的拓展并不仅限于此，在学习空间向量时，教师可以再一次向学生呈现这个例题，并通过类比的方法，将此例题的结论引向空间，得到一个新的问题：已知、不共面，=m+n（mR，nR），试用，表示。经思考，学生可以得到结论：=x+y+z（其中x+y+z=1），这是空间向量基本定理的一种特殊形式，由于学生经历了平面向量中的探究过程，他们必然会思考这个命题的逆命题是否成立，而其逆命题恰好是教材中有关空间向量内容的一道例题：“对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？”如果教师不如此引导，学生由于遗忘等原因，是不可能将两道例题联系起来的，而现在通过教师的拓展引导，两道不同章节的例题在学生的知识体系中建立了联系，这种联系并不是形式上的联系，而是在数学思想层面上产生的联系，因为后面的命题是前面命题在空间上的类比物，教师通过这种拓展，既对学生的知识体系进行了整合，又让学生经历了一次通过类比发现问题的过程，从而使他们的数学思维又一次向纵深发展。三、背景拓展一些例题本身具有丰富的生活背景或数学背景，如果教师能够对这样的例题进行深入的挖掘，必可以深化学生对数学本质的认识，从而提升其数学思维的深度。例：已知a，b，m都是正数，并且a对于本例，我们可以利用它所具有的生活背景进行挖掘，教学中教师先提出问题：“糖水中加糖（在没有达到饱和度的前提下）味道会怎样？请你将这个生活现象提炼成一个不等式”。教师提示学生从浓度方面进行考虑，在学生提炼出上述不等式并利用比较法证明之后，教师接着提出问题：“在建筑中，把窗户面积与房间面积的比称为采光率，采光率越高，房间越明亮，如果把窗户面积与房间面积增加相同的面积，房间会变亮还是会变暗？为什么？”这个问题既是对前面不等式的应用，又使学生体会到不同的生活背景有时往往蕴涵了同样的数学模型这样一种数学模型化思想。之后，教师又借助不等式所具有的糖水浓度背景，继续进行深入挖掘，提出问题：“糖水加糖会变甜，那么加糖越多，就会越甜，这个现象又可抽象出什么不等式？”学生思考后又得到一个新的不等式：如果0am20，那么，教师接着提问：“这个不等式还能加长吗？”在这个问题的引导下，学生通过思考又得到以下不等式串：如果0am2mn0，那么，教师继续引导：“这个不等式串中的各式具有相同的结构，这会让你联想到什么？”学生思考后发现这组不等式体现了函数y=在区间0，）是增函数，教师接着引导学生反过来思考：“如果知道这个函数的单调性，也就能够证明前面的一系列不等式”，这样师生共同挖掘出这道例题的函数背景，同时也通过对背景的思考，学生又获得了利用函数单调性证明不等式的方法。四、思想拓展数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是要让学生理解蕴涵在这些知识中的丰富的数学思想，数学思想方法对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义，因此对学生而言更为重要，例题的教育价值是否能够充分发挥出来，完全取决于例题中的数学思想是否被教师充分的挖掘与展现。例：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除（对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除）教师在证明完这道例题后，追问一句：“既然x2n-y2n能被x+y整除，那么x2n-y2n整除x+y后得到的又是一个什么样的式子呢？”学生会发现，刚使用的数学归纳法是不能解决这个问题的，怎么办，学生想到n分别取1、2、3、4等去进行归纳，寻找规律，以发现结论，学生通过归纳，猜想x2n-y2n=(x+y)x2n-1-x2n-2y+x2n-3y2+x2n-r(-y)r+-y2n-1，(r=1,2,2n)，但这个结论又如何证明呢？由于这是与自然数有关的命题，学生很自然地想到了数学归纳法，在这个过程中，学生不仅进一步体验了由特殊到一般进行归纳的数学方法、先猜想后证明的数学研究过程，而且体会到在解决与自然数集有关的问题时，归纳法是发现问题的一种重要方法，而数学归纳法是不能用于发现问题的，它只能用于证明已发现的结论，从而他们可以理解到数学归纳法的本质不是归纳，而是一种特殊的演绎。五、文化拓展在数学教学中渗透数学文化可以对学生健全的人格形成产生良好影响进行，张奠宙先生说“数学文化必须走向课堂”，但如何让数学文化走向课堂，这是我们必须认真思考的，对一些例题进行深入挖掘，挖掘出其所蕴涵的数学文化内涵，是数学文化走向课堂的一种重要方式。例：已知数列n的第一项是1，以后每一项的各项由公式n=1+给出，写出这个数列的前五项。此例较易解答，但如不对其进行挖掘与拓展，例题的教育功能就不能达到最大，教学中教师可以这样进行拓展：学生解答之后，教师要求学生用计算器再计算后续几项，学生通过计算后发现，当n逐渐增大时，n的近似值为1.618，结合初中所学，学生知道这个近似值是黄金分割数，教师顺势引导学生进行探讨，教师提出下列问题引导学生思考：当n足够大时，根据计算的结果，每一项和它的前一项的近似值应该有什么关系？而根据递推公式，它们之间又有何关系？综合利用这两个关系，我们可以形成什么样的关系式？学生思考讨论后得到以下解释：设当n逐渐增大时，n的近似值是x，则x=1+ ，即x2-x-1=0，其解之一即为1.618是黄金分割数。得到这个解释之后，教师又引导学生进行如下的操作：2=1+=1+，3=1+=1+，4=1+=1+，由于当n逐渐增大时，n的近似值为，于是学生得到了黄金分割数的无穷连分数表达式，即。由无穷个1居然能够表示一个无理数，这引起了学生极大的兴趣，一些学生积极思考后提出：黄金分割数的倒数是黄金分割比0.618，它比黄金分割数小1，因此它也可写成无穷连分数：，它的近似分数应该是例题中各数的倒数，即。在学生获得了这些在书本中没有的知识后，教师并没有停止引导，而是又提出新的问题：“上面分数的分子1，1，2，3，5，8，组成一个新的数列，你能写出这个数列的递推公式吗？”学生得到递推公式：a1=a2=1，an=an-1+a=-2(n3)，之后教师又给出著名的斐波那契“兔子问题”让学生思考，学生在教师引导下，发现其结果正是上一个问题中数列的各项，教师向学生介绍，这就是数学史中著名的“斐波那契数列”，之后教师给出其通项公式：，学生惊喜地发现，这个通项公式中正藏有黄金分割数与黄金分割比，学生不由惊叹道，这两个数列可真有“亲戚”关系啊！教师接着利用多媒体展示一些自然现象中所隐藏的“斐波那契数列”，看到在习以为常的自然现象中竟有如此精妙的数学原理，学生叹为观止。对例题文化性的拓展，极大的激发了学生的学习兴趣，也丰富了学生的视野，例题的教育功能得到了最大的发挥。以上是笔者对