解三角形练习题

1 1 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A 则 a2 a b A B C D 2 32 232 2 在ABC 中 则 A 的取值范围是 222 sinsinsinsinsinBCBC A 0 B c 0 D 6 6 3 3 3 在中 角所对的边分 若 则 ABC A B C a b ccossinaAbB 2 sincoscosAAB A B C 1 D 1 1 2 1 2 4 若 ABC的内角 A B C满足 则cosB 6sin4sin3sinABC A 15 4 B 3 4 C 3 15 16 D 11 16 5 在 中 若 则 的形状是 ABC 222 sinsinsinABC ABC A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 6 在 ABC 中 AC BC 2 B 60 则 BC 边上的高等于7 A B C D 3 2 3 3 2 36 2 339 4 7 在 中 若 则 ABC60A 45B 3 2BC AC A B C D 4 32 33 3 2 8 已知中 的对边分别为 a b c 若 a c 且 则 b ABC CBA 26 75A o A 2 B 4 C 4 D 2 32 362 二 填空题 1 在 ABC 中 若 a 3 b A 则 C 的大小为 答案 3 3 90 2 在 ABC 中 已知 BAC 60 ABC 45 则 AC 答案 3 BC2 3 设 的内角 的对边分别为 且 则 ABCABC abc 1 cos 4 abC 1 2 sin B 答案 4 15 4 在三角形 ABC 中 角 A B C 所对应的长分别为 a b c 若 a 2 B c 2 则 b 6 3 2 答案 2 5 在 中 三边 所对的角分别为 ABCabcABC 若 则角的大小为 或 222 20abcab C 3 4 135 6 的三个内角 所对边的长分别为 已知 则ABCABCabc2 3ab sin sin A AC 2 3 7 若 ABC 的面积为 BC 2 C 则边 AB 的长度等于 3 60 解析 1 2sin603 2 2 sACAC 所以 ABC 为等边三角形 故边 AB 的长度等于 2 答案应填 2 8 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 2 3 点 D 在 BC 边上 ADC 45 则 AD 的长度等于 解析 在 ABC 中 AB AC 2 BC 中 2 330ACBABC 而 ADC 45 答案应填 sin45sin30 ACAD 2AD 2 9 ABC 中 B 120 AC 7 AB 5 则 ABC 的面积为 解析 本题考查余弦定理和面积公式 属于容易题 有余弦定理得 120 0222 cos2BCAC BCACAB 所以 BC 3 有面积公式得 S 4 315 10 在 ABC 中 则的最大值为 60 3BAC 2ABBC 解析 00 120120ACCA 0 0 120 A 22sin sinsin BCAC BCA AB 0 22sin2sin 120 3cossin sinsin ABAC ABCAAA CB 故最大值是2ABBC 3cos5sin28sin 2 7sin AAAA 2 7 三 解答题 1 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bsinA acosB 3 1 求角 B 的大小 2 若 b 3 sinC 2sinA 求 a c 的值 3 解析 1 bsinA acosB 由正弦定理可得 即得 3sinsin3sincosBAAB tan3B 3 B 2 sinC 2sinA 由正弦定理得 由余弦定理 2ca 222 2cosbacacB 解得 22 9422 cos 3 aaaa 3a 22 3ca 2 设 的内角所对边的长分别为 且有ABCCBA cba CACAABsincoscossincossin2 求角 A 的大小 若 为的中点 求的长 2b 1c DBCAD 解析 3 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 c asinC ccosA 3 1 求 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 3 4 在中 已知 ABC BCBAACAB 3 1 求证 2 若求 A 的值 tan3tanBA 5 cos 5 C 4 1 即 3ABACBA BC AAcos 3cosAB ACABA BCBAAAAcos 3cosACABCBAA 由正弦定理 得 sinsin ACBC BA sincos 3sincosBAABAA 又 即 0 ABB sinsin 3 coscos BA BA Atan3tanBA 2 5 cos0 5 C C tan 1A 4 A 5 在ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 a b 32 求边 BC 上的高 12cos 0BC 解 在中 ABC coscosBCA 12cos 1 2cos0 BCA 3 A 在中 根据正弦定理 ABC sinsin ab AB sin2 sin 2 bA B a 5 412 abBCAB 2 12362 sinsinsincoscossin 22224 CBABABA 边上的高为 BC 6231 sin2 42 bC 6 设ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abC I 求ABC 的周长 II 求cos AC 的值 解 222 1 2cos1444 4 cababC 2 c 的周长为ABC 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 CCC 15 sin15 4 sin 28 aC A c 故 A 为锐角 acAC 22 157 cos1sin1 88 AA 71151511 cos coscossinsin 848816 ACACAC 5 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 求角 C 的大小 求sinA cos B 的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 3 4 解析 I 由正弦定理得sinsinsincos CAAC 因为0 A 所以sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 8 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为cba 1 若 求 A 的值 2 若 求的值 cos2 6 sin AA cbA3 3 1 cos Csin 解析 1 sin 2cos sin3cos 63 AAAAA 2 2222 1 cos 3 2cos8 2 2 3 AbcabcbcAcac 由正弦定理得 而 2 2 sinsin cc AC 2 2 2 sin1 cos 3 AA 1 sin 3 C 9 在中 的对边分别是 已知 ABC CBA cba CbBcAacoscoscos3 1 求的值 2 若 求边的值 Acos 3 32 coscos 1 CBac 解 1 由 正弦定理得 CbBcAacoscoscos3 sin cossincossincossin3CBCBBCAA 及 所以 AAAsincossin3 3 1 cos A 2 由 3 32 coscos CB 展开易得 3 32 cos cos CCA 3 6 sin3sin2cos CCC 6 正弦定理 2 3 sinsin c C c A a 10 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A a 2 I 求 II 若 c2 b2 a2 求 B b a 3 解 I 由正弦定理得 即 22 sinsincos2sinABAA 故 22 sin sincos 2sinBAAA sin2sin 2 b BA a 所以 II 由余弦定理和 222 13 3 cos 2 a cbaB c 得 由 I 知故 22 2 ba 22 23 ca 可得 2 12 cos cos0 cos 45 22 BBBB 又故所以 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 sincsin2 sinsinaACaCbB 求 B 若 0 75 2 Ab ac求 解析 I 由正弦定理得 由余弦定理得 222 2acacb 222 2cosbacacB 故 因此 2 cos 2 B 45B II sinsin 3045 A sin30 cos45cos30 sin45 26 4 故 sin26 13 sin2 A ab B sinsin60 26 sinsin45 C cb B 12 在中 内角 A B C 所对的分别是 a b c 已知 a 2 c cosA ABC 2 2 4 I 求 sinC 和 b 的值 II 求 cos 2A 的值 3 7 13 如图1 渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处 且与岛屿相距12海里 渔船乙以10A60 BA 海里 小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追AB 赶渔船乙 刚好用2小时追上 1 求渔船甲的速度 2 求的值 sin 解 1 依题意 120BAC 12AB 10 220AC BCA 在 中 由余弦定理 得ABC 4分 222 2cosBCABACABACBAC 22 12202 12 20 cos120784 解得 6分28BC 所以渔船甲的速度为海里 小时 14 2 BC 答 渔船甲的速度为海里 小时 7分14 2 方法1 在 中 因为 ABC12AB 120BAC 28BC BCA 由正弦定理 得 sinsin120 ABBC 即 3 12 sin12