系统分析及控制第1章经典控制理论

2009 08 CAUC 空中交通管理学院 1 第1章经典控制理论 控制工程基础 王益群 阳含和主编 系统分析及控制 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 2 系统数学模型 描述系统输入 输出及系统内部变量之间关系的数学表达式 建模方法 机理分析法 1 0控制系统时域数学模型 1 0控制系统时域数学模型 本章所讲的模型形式 实验法 辨识法 微分方程 传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 3 线性元部件 系统微分方程的建立 1 L R C网络 2阶线性定常微分方程 1 0引言 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 4 1 1控制系统的数学基础 2 弹簧 阻尼器机械位移系统分析A B点受力情况 由 解出 代入B等式 得 一阶线性定常微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 5 3 X Y记录仪 不加内电路 消去中间变量得 二阶线性定常微分方程 即 1 0控制系统时域数学模型 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 6 线性系统便于分析研究 在实际工程问题中 应尽量将问题化到线性系统范围内研究 非线性元部件微分方程的线性化 2 线性系统特性 满足齐次性 可加性 1 0控制系统时域数学模型 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 7 3 用拉氏变换解微分方程 初条件为0 1 0控制系统时域数学模型 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 8 1 1控制系统的数学基础 1 1控制系统的数学基础 1拉氏变换及其特性拉氏变换的定义常用函数曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 9 1复数有关概念 1 复数 复函数复数 复函数 例 2 复数模 相角 3 复数的共轭 1 1 1复数有关概念 4 解析 若F s 在s点的各阶导数都存在 称F s 在s点解析 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 10 1 1 2拉氏变换 1拉氏变换定义 2几种常见函数的拉氏变换1 单位阶跃 2 指数函数 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 11 3 正弦函数 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 12 1 5经典控制理论简介 表2 1记住 常用函数的拉氏变换对照表 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 13 4拉氏变换的几个重要定理 1 线性性质 2 微分定理 零初始条件下有 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 14 零初始条件下有 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 15 例1 求 例2 求 解 3 积分定理 零初始条件下有 进一步有 证略 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 16 例3 求L t 解 例4 求 解 4 位移定理实位移定理 例5 解 虚位移定理 证略 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 17 例6 求 例7 例8 5 终值定理 极限确实存在时 证明 由微分定理 解 1 1 2拉氏变换 虚位移定理 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 18 取极限 有 证毕 例9 求 例10 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 19 拉氏变换附加作业已知f t 求F s 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 20 二 已知F s 求f t 1 1 2拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 21 1 1 3拉氏反变换 2 查表法 分解部分分式 留数法 待定系数法 试凑法 微分方程一般形式 1 1 3拉氏反变换 1 反变换公式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 22 的一般表达式为 I 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 23 其中分母多项式可以分解因式为 II 的根 特征根 分两种情形讨论 无重根时 依代数定理可以把 表示为 即 若 可以定出来 则可得解 而 计算公式 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 24 例2 求 解 例3 求 解 不是真分式 必须先分解 可以用长除法 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 25 例4 解法一 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 26 解法二 II 有重根时 为m阶重根 为单根 则 可表示为 其中单根 的计算仍由 1 中公式 来计算 设 重根项系数的计算公式 说明原理 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 27 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 28 例5 求 解 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 29 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 例 解 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 30 例 解一阶微分方程 解 的解 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 31 所以象函数的解为 用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 32 注 拉氏变换在解微分方程中具有重要作用 应用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数的代数方程求解 再通过拉氏逆变换 将象函数的代数方程解还原为微分方程的解 起到化难为易的作用 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 33 用拉氏变换求解常系数常微分方程的过程如下 第一步对微分方程进行拉氏变换 第二步解拉氏变换象函数的代数方程 第三步将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换 还原为微分方程的解 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 34 例 解二阶常系数线性微分方程 解 用拉氏变换求微分方程 变换 则有 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 35 代数方程的解 将上式分解为 再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 的微分方程解为 即 1 1 4用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 36 举例说明拉氏变换的用途之一 解线性常微分方程 引出传递函数概念 如右图 电路 初条件 输入 依克西霍夫定律 L变换 1 1 3用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 37 依 式可见 影响 电路响应的因素有三个 分析系统时 为在统一条件下衡量其性能 输入都用阶跃 初条件影响不考虑 1 1 3用拉氏变换方法解微分方程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 38 3 系统的结构参数 只有此项决定系统性能 零初条件下输入 出拉氏变换之比 不随输入形式而变 1 1 3拉氏反变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 39 2 3线性定常系统的传递函数 上述 电路的结论适用于一般情况一般情况下 线性系统的微分方程 简单讲一下 传递函数的标准形式 I 为首1多项式型 II 为尾1多项式型 开环增益的意义 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 40 一般情况下 首1型 尾1型 2 1 由 1 式 3 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 41 首1型多用于根轨迹法中 尾1型多用于时域法 频域法中 比较 1 2 4 一 传递函数定义 条件 定义 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 42 有关概念 特征式 特征方程 特征根 零点 使 极点 使 的s值 传递函数 增益 放大倍数 的s值 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 43 结构图 系统的表示方法G s 分子分母与相应的微分方程之间的联系 完全取决于系统本身的结构参数注 1 为何要规定零初始条件 分析系统性能时 需要在统一条件下考查系统 输入 都用阶跃输入 初条件 都规定为零 为确定一个系统的起跑线而定 则系统的性能只取决于系统本身的特性 结构参数 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 44 2 为何初条件可以为零 我们研究系统的响应 都是从研究它的瞬时才把信号加上去的 绝大多数系统 当输入为0时 都处于相对静止状态 零初始条件是相对的 常可以以平衡点为基点 如小扰动为线性化时 3 零初条件的规定 并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解 可以由G s 回到系统微分方程 加上初条件求解 二 传递函数的性质 G s 复函数 是自变量为s的有理真分式 m n m n的解释 1 实际系统都存在惯性 从微分方程上反映出来 即C s 的阶次比R s 阶次高 反映到G s 上即有分母阶次n 分子阶次m 均为实常数 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 45 2 反证法 设m n则 说明 2 G s 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关 输入变时 C s G s R s 变 但G s 本身并不变化但G s 与输入 输出信号的选择有关 r t c t 选择不同 G s 不同 见前CR电路 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 46 3 G s 与系统的微分方程有直接联系 4 G s 是系统单位脉冲响应的拉氏变换 5 G s 与系统相应的零极点分布图对应 G s 的零极点均是复数 可在复平面上表示 若不计传递函数 G s 与其零极点分布图等价 例 G s 系统零极点分布图 系统性能 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 47 若当系统参数发生变化时 分析其特性 用解微分方程法十分繁琐 一个元部件参数改变 影响ai bi得反复解 2 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性 则当某个元部件的参数改变时 ai bi变化 零极点位置变化 系统性能的变化规律就能掌握了 这样 我们可以有目的地改变某些参数 改善系统的性能 且免除了解微分方程的烦恼 这是为什么采用G s 这种数模的原因之一 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 48 三 采用传递函数的局限 G s 原则上不反映C 0 0时的系统的全部运动规律 虽然由G s 转到微分方程 可以考虑初条件的影响 G s 只适用于单输入 单输出系统 G s 只适用于线性定常系统 由于拉氏变换是一种线性变换 例 传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式 经常要用 典型元部件传递函数略讲 重点以伺服电机引出结构图的概念 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 49 例1已知某系统 当输入为 时 输出为 求 系统传递函数 系统增益 系统的特征根及相应的模态 画出系统对应的零极点图 系统的单位脉冲响应 6 系统微分方程 7 当 时 系统响应 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 50 解1 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 51 2 由 式 增益K 13 由 式 特征根 模态 4 零极点图见右5 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 52 6 隐含零初始条件 7 对上式进行拉氏变换 注意代上初条件 不受零初始条件限制 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 53 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 54 例2系统如右图所示已知 方框对应的微分方程为 求系统的传递函数 解 对 相应的微分方程进行拉氏变换 又由运算放大器特性 有 有 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 55 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 56 4 典型元部件的传递函数1 电位器 无负载时 2 电桥式误差角 位置 检测器 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 57 4 典型元部件的传递函数1 电位器 无负载时 2 电桥式误差角 位置 检测器 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 58 3 自整角机 注自整角机与电桥式误差检测器功能相同 只是有以下几点区别 1 前者工作于交流状态 后者直流 2 自整角机无摩擦 精度高 3 自整角机 可以大于 4 测速发电机 1 直流测速发电机 楞次定律 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 59 2 交流发电机 电枢控制式直流电动机 结构同发电机 楞次定律 克希霍夫 安培定律 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 60 牛顿定律 利用前四个方程中的三个消去中间变量 得出 时间常数 传递系数 同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 61 若分别对每一个方程分别求传递函数 则可构成以下结构图 分析问题的角度不同 同一系统可以有不同形式的结构图 但彼此等价 此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系 经简化后可得上面形式结构图 6 两相交流伺服电动机 堵转力矩 机械特性 牛顿定律 利用前两式消去 可得 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 62 利用前两式消去 可得 分别各式进行拉氏变换得 方框图 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 63 1 2线性定常系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 64 2 1微分方程与传递函数 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤 1 确定系统中各元件的输入输出物理量 2 根据物理定律或化学定律 机理 列出元件的原始方程 在条件允许的情况下忽略次要因素 适当简化 3 列出原始方程中中间变量与其他因素的关系 4 消去中间变量 按模型要求整理出最后形式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 65 例1机械力学系统弹簧阻尼系统 其中 f是阻尼系数k是弹簧系数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 66 解 系统的微分方程如下拉氏变换后 零初始条件下 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 67 例2电学系统 其中 电阻为R 电感为L 电容为C 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 68 解 系统的微分方程如下拉氏变换后 零初始条件下 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 69 传递函数 定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 三要素 线性定常系统零初始条件输出与输入的拉氏变换之比 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 70 零初始条件 输入及其各阶导数在t 0 时刻均为0 输出及其各阶导数在t 0 时刻均为0 形式上记为 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 71 传递函数的性质 1 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数 与输入输出无关 2 传递函数概念仅适用于线性定常系统 具有复变函数的所有性质 3 传递函数是复变量s的有理真分式 即n m 4 传递函数是系统冲激响应的拉氏变换 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 72 5 传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系 6 由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均为实数 故零点和极点可以是实数 也可以是成对的共轭复数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 73 其中 KG 根轨迹增益或传递系数 zi 零点 i 1 m pj 极点 j 1 n 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 74 传递函数列写大致步骤 方法一 列写系统的微分方程消去中间变量在零初始条件下取拉氏变换求输出与输入拉氏变换之比方法二 列写系统中各元件的微分方程在零初始条件下求拉氏变换整理拉氏变换后的方程组 消去中间变量整理成传递函数的形式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 75 2 2典型元部件的传递函数 电位器 把线位移或角位移变换为电压量的装置 1 线位移 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 76 2 角位移 其中 E 电位器电源电压 max 电位器最大工作角 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 77 一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 78 放大器 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 79 直流电动机 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 80 减速器 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 81 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 82 测速发电机 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 83 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 84 无源网络 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 85 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 86 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 87 有源网络 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 88 2 3典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件 元件组或元件的一部分称为一个环节 系统传递函数可写为 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 89 由上式可知 传递函数表达式包含六种不同的因子 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 90 各典型环节名称 比例环节 一阶微分环节 二阶微分环节 积分环节 惯性环节 二阶振荡环节 延迟环节 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 91 惯性环节与延迟环节的区别 惯性环节从输入开始时刻就已有输出 仅由于惯性 输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值 延迟环节从输入开始后在0 时间内没有输出 但t 之后 输出完全等于输入 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 92 2 4控制系统的结构图与信号流图 控制系统的结构图与信号流图是系统数学模型的图解形式 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递 变换过程 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 93 一 系统结构图的组成 特点 具有图示模型的直观 又有数学模型的精确 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 94 1 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的流向 在直线旁标记信号的时间函数或象函数 2 引出点 或测量点 表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 95 3 比较点 综合点 相加点 表示两个以上的信号进行加减运算 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 96 4 方框 或环节 表示对信号进行的数学变换 方框中写入元部件或系统的传递函数 方框与实际系统中的元部件并非一一对应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 97 二 结构图的建立 建立步骤 1 列出各环节 元件 的传递函数 2 根据各环节之间的信号流向 用图的形式连接起来 例1无源网络 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 98 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 99 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 100 将上面的各环节 元件 的部分综合有 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 101 例2电压测量装置 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 102 原理方框图 比较电路 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 103 调制器 放大器 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 104 两相伺服电机 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 105 绳轮传递 测量电位计 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 106 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 107 三 结构图的等效变换和简化 方框图的基本连接方法只有三种 串联 并联 反馈 简化原则 变换前后变量关系保持等效 1 串联连接 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 108 2 并联连接 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 109 3 反馈连接 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 110 4 比较点后移 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 111 5 比较点前移 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 112 6 比较点合并 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 113 7 引出点前移 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 114 8 引出点后移 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 115 注意 比较点和引出点之间一般不宜交换其位置 由方框图求系统传递函数的基本思路 利用等效变换法则 移动比较点和引出点 消去交叉回路 变换成可以运算的简单回路 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 116 例1 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 117 例2 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 118 例3 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 119 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 120 四 信号流图和梅逊公式 信号流图起源于梅逊 S J MASON 利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式 是由节点和支路组成的一种信号传递网络 节点 表示方程式中的变量或信号 是所有进入该节点的信号的代数和 用 表示 支路 连接两个节点的定向线段 信号在支路上沿箭头单向传递 支路增益 表示方程式中两个变量的因果关系 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 121 名词术语 1 源节点 输入节点 只有输出没有输入 一般代表系统的输入变量 2 阱节点 输出节点 只有输入没有输出 一般代表系统的输出变量 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 122 3 混合节点 既有输入又有输出的节点 4 前向通路 信号从输入节点到输出节点的传递中 每个节点只通过一次的通路 前向通路总增益 前向通路上各支路增益的乘积 一般用pk表示 5 回路 起点与终点在同一节点 且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路 回路增益 回路中所有支路增益的乘积 用La表示 6 不接触回路 回路之间没有公共节点 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 123 梅逊公式 式中 P 系统总传递函数 n 前向通路总数 Pk 第k条前向通路的传递函数 通路增益 流图特征式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 124 所有不同回路的传递函数之和 每两个互不接触回路传递函数乘积之和 每三个互不接触回路传递函数乘积之和 与第k条前向通路对应的余因子式 等于流图特征式中去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益后的余项式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 125 五 闭环系统的传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 126 系统的开环传递函数 对输入量的闭环传递函数 对扰动量的闭环传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 127 系统的总输出 定义系统的误差 由输入量引起的误差传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 128 由扰动引起的误差传递函数 系统的总误差 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 129 2 5数学模型的实验测定法 实验测定法 对系统施加一定的激励 输入 测得它的输出 根据输入输出的数据 或曲线 结果 通过一定的数学处理方法 得到能反映系统输入 输出关系的数学模式 特点 只能得到反映系统输入 输出关系的数学模型 不知道 不能反映 系统内部结构和系统中各物理量之间的关系 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 130 根据加入的激励信号和结果的分析方法不同 实验测定法可分为 1 时域测定法 施加阶跃信号 绘制输出量的响应曲线 2 频域测定法 施加不同频率的正弦波 测出输入信号和输出信号之间的幅值比和相位差 3 统计相关法 施加某种随机信号 根据被控对象各参数的变化 采用统计相关法确定动态特性 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 131 2006 6 29Page131空中交通管理学院马兰 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 132 第三章线性系统的时域分析法 线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 133 3 1引言 一 时域法的特点直观 准确二 时域法典型控制过程1 典型初始状态 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 134 二 时域法典型控制过程2 典型外作用 t 0 1 单位脉冲信号 t 2 单位阶跃信号1 t 3 单位斜坡 速度 信号t 4 单位加速度信号 t2 5 正弦信号Asin wt 前四者互为导数关系 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 135 二 时域法典型控制过程3 典型时间响应 1 单位脉冲响应 2 单位阶跃响应 3 单位斜坡 速度 响应 4 单位加速度响应互为导数关系 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 136 二 时域法典型控制过程4 动态过程与稳态过程 1 动态过程 过渡过程 瞬态过程 系统在典型输入信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程 用动态性能指标描述 2 稳态过程 系统在典型输入信号作用下 当时间t趋于无穷大时 系统输出量的表现方式 用稳态性能指标描述 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 137 3 2时域性能指标 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 138 延迟时间td DelayTime 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间 上升时间tr RisingTime 响应曲线从稳态值的10 上升到90 所需的时间 上升时间越短 响应速度越快 对于震荡系统 也可定义为由零开始 首次达到稳态值所需的时间 峰值时间tp PeakTime 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 139 调节时间ts SettlingTime 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内 所需的最短时间 用稳态值的百分数 通常取5 或2 作 超调量 MaximumOvershoot 指响应的最大偏离量h tp 于终值之差的百分比 即 稳态误差ess 期望值与实际值之差 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 140 或 评价系统的响应速度 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标 从整体上反映系统的快速性 评价系统的阻尼程度 稳定性能指标和抗干扰能力 越小 系统精度越高 ess 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 141 3 3一阶系统时域分析 一 一阶系统数学模型例 RC电路 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节 传递函数为 T RC 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 142 二 一阶系统单位阶跃响应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 143 三 一阶系统单位脉冲响应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 144 四 一阶系统单位斜坡 速度 响应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 145 五 一阶系统单位加速度响应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 146 六 一阶系统响应小结 等价关系 系统对输入信号导数的响应 就等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应 就等于系统对该输入信号响应的积分 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 147 3 4二阶系统时域分析 自然频率 或无阻尼振荡频率 阻尼比 相对阻尼系数 一 二阶系统数学模型 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 148 特征方程 特征根 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 149 欠阻尼系统 闭环极点为共扼复根 位于左半S平面 临界阻尼 两个相等的负实根 零阻尼 虚轴上一对纯虚根 过阻尼 两个不相等的负实根 负阻尼 两个正实部的特征根 系统发散 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 150 二 二阶系统单位阶跃响应1 负阻尼情况 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 151 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 152 二 二阶系统单位阶跃响应2 过阻尼情况 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 153 二 二阶系统单位阶跃响应3 临界阻尼情况 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 154 在控制工程中 除了那些不容许产生振荡响应的系统外 通常都希望控制系统具有适度的阻尼 快速的响应速度和较短的调节时间 二 二阶系统单位阶跃响应4 欠阻尼情况 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 155 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 156 令 时 亦可用 在较大的 值范围内 近似有 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 157 求得 一定 即 一定 响应速度越快 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 158 根据峰值时间定义 应取 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 159 超调量在峰值时间发生 故 即为最大输出 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 160 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 161 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 162 二 二阶系统单位阶跃响应5 零阻尼情况 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 163 二阶系统在不同 值瞬态响应曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 164 例2磁悬浮列车 线圈电流 间隙的大小 求K 100时 系统的动态性能指标 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 165 三 二阶系统单位斜坡响应 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 166 四 二阶系统的性能改善 1 比例 微分控制 PD控制 图PD控制系统 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 167 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 168 2 速度反馈控制 系统的开环传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 169 两种方法的比较 1 附加阻尼来源不同 2 使用环境不同 3 对开环增益和自然频率的影响不同 4 对动态特性的影响 5 实现方法与成本 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 170 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 171 例 不加速度反馈的二阶系统斜坡跟踪误差曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 172 具有速度反馈的二阶系统斜坡跟踪误差曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 173 3 5线性控制系统的稳定性 一 稳定性定义 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行 定义 设一线性定常系统原处于某一平衡状态 若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态 当此扰动撤消后 系统仍能回到原有的平衡状态 则称该系统是稳定的 反之 系统为不稳定 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况 它与系统的输入信号无关 只取决于系统本身的特征 因而可用系统的脉冲响应函数来描述 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征 结构 参数 与系统的输入信号无关 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 174 二 线性系统稳定的充要条件 三 赫尔维茨稳定判据对于n阶系统 该系统稳定的充要条件为 该系统的n个赫尔维茨行列式均为正 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 175 例 如图所示的IS机器人公司的一体化6腿微型机器人 机械腿由12种150个传感器组成 能起到与环境交互的作用 能判断出环境的表面形状 结构 硬度以及颜色 由陀螺稳定的照相系统和激光测距系统能使其迅速移动 跨越障碍以及其他复杂的动作 试判断该机器人的稳定性 系统特征方程为 Q s s5 s4 4s3 24s2 3s 63 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 176 四 劳斯稳定判据 Routh sstabilitycriterion 1劳斯表 令系统的闭环特征方程为 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 177 将各项系数 按下面的格式排成劳斯表 an 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 178 这样可求得n 1行系数 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布 过程如下 如果劳斯表中第一列的系数均为正值 则其特征方程式的根都在S的左半平面 相应的系统是稳定的 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化 其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数 相应的系统为不稳定 an 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 179 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 180 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 181 2劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零 而该行的其余各项不等于零或没有余项 解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项 据此算出其余的各项 完成劳斯表的排列 若劳斯表第一列中系数的符号有变化 其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目 相应的系统为不稳定 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同 则表示该方程中有一对共轭虚根存在 相应的系统也属不稳定 或特征方程两边同乘以 s a 再重新列写劳斯表 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 182 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 183 劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根 这种情况 可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式 并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行 完成劳斯表的排列 这些大小相等 径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 184 列劳斯表 由上表可知 第一列的系数均为正值 表明该方程在S右半平面上没有特征根 令F s 2s4 12s2 16 0 求得两对大小相等 符号相反的根 显然这个系统处于临界稳定状态 例如 一个控制系统的特征方程为 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 185 3劳斯判据的应用 稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况 而不能确定根的具体数据 也即也不能保证系统具备满意的动态性能 换句话说 劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离 希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离 设 并代入原方程式中 得到以 为变量的特征方程式 然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线 右侧 由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远 从而了解系统稳定的 程度 s 0 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 186 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 187 令 代入特征方程 列劳斯表 第一列的系数符号变化了一次 表示原方程有一个根在垂直直线 的右方 式中有负号 显然有根在 的右方 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 188 五线性系统的稳态误差 控制系统的性能 动态性能 稳态性能 稳态误差 本节主要讨论 原理性稳态误差的计算方法 系统结构 系统类型 输入作用方式 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 189 1稳态误差的定义 控制系统框图 在实际系统中是可以量测的 如果 输出量的希望值 即为输入量 误差传递函数 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 190 二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 191 二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线 2009 08 CAUC 空中交通管理学院 192 公式条件 的极点均位于S左半平面 包括坐标原点 输入形式 结构形式 开环传递函数 给定的稳定系统 当输入信号形式一定时 系统是否存在稳态误差 就取决于开环传递函数所描述的系