定积分的背景—面积和路程问题

定积分的背景 面积与路程问题 高二数学选修2 1第四章定积分 以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算 我们学过如何求正方形 长方形 三角形等的面积 这些图形都是由直线段围成的 那么 如何求曲线围成的平面图形的面积呢 这就是定积分要解决的问题 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用 本节我们将了解定积分的实际背景 借助几何直观体会定积分的基本思想 初步了解定积分的概念 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的 通常称这样的平面图形为曲边梯形 a b 曲边梯形定义 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 探究点1曲边梯形的定义 对曲边梯形概念的理解 1 曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形 2 曲边梯形与 直边图形 的主要区别在于前者有一边是曲线段而 直边图形 的所有边都是直线段 探究点2估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 即 以直代曲 的思想 计算出了圆的面积 能否也用直边形 如矩形 逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢 割圆术 问题1图中阴影部分是由抛物线 直线以及x轴所围成的平面图形 试估计这个曲边梯形的面积S 分析首先 将区间 0 1 5等分 如图所示 图 1 中 所有小矩形的面积之和 记为S1 显然大于所求的曲边梯形的面积 我们称S1为S的过剩估计值 有 1 图 2 中 所有阴影小矩形的面积之和 记为s1 显然小于所求曲边梯形的面积 我们称s1为S的不足估计值 有 2 思考 我们可以用S1或s1近似表示S 但是都存在误差 误差有多大呢 提示 二者之差为S1 s1 0 2 如图 3 中阴影所示 无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积 误差都不会超过0 2 3 1 4 不足估计值为 二者的差值为S2 s2 0 1 此时 无论用S2还是用s2来表示S 误差都不超过0 1 结论 区间分得越细 误差越小 当被分割成的小区间的长度趋于0时 过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积 通过下面的演示我们如何做到使误差小于0 01 输入数字 点击确定 练一练 求曲线y x3与直线x 1 y 0所围成的平面图形的面积的估计值 并写出估计误差 把区间 0 1 5等分来估计 解析把区间 0 1 5等分 以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高 得到不足估计值和过剩估计值 如下 估计误差不会超过 0 2 探究点3估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t 我们可以求出它走过的路程s vt 那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢 问题2想象这样一个场景 一辆汽车的司机猛踩刹车 汽车滑行5s后停下 在这一过程中 汽车的速度v 单位 m s 是时间t的函数 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 分析 由已知 汽车在刚开始刹车时的速度是v 0 25m s 我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度 求出汽车的滑行距离 s 25 5 125 m 但显然 这样的误差太大了 为了提高精确度 我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离 首先 将滑行的时间5s平均分成5份 我们分别用v 0 v 1 v 2 v 3 v 4 近似替代汽车在0 1s 1 2s 2 3s 3 4s 4 5s内的平均速度 求出滑行距离s1 由于v是下降的 所以显然s1大于s 我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值 用v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 分别近似替代汽车在0 1s 1 2s 2 3s 3 4s 4 5s内的平均速度 求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s 误差都不超过 要对区间多少等分时 才能保证估计误差小于0 1 为了得到更加精确的估计值 可以将滑行时间分得更细些 因为我们知道 滑行时间的间隔越小 用其中一点的速度代替这段时间内的平均值 其速度误差就越小 比如 将滑行时间5s平均分成10份 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2 结论滑行时间等分得越细 误差越小 当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时 过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 无论用s2还是表示汽车的滑行距离s 误差都不超过 抽象概括 前面 我们通过 以直代曲 的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题 对于变速运动路程的步骤 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求路程 所分区间长度趋于0 估计值趋于所求值 变式练习 汽车作变速直线运动 在时刻t的速度为v t t2 2 单位 km h 那么它在0 t 1 单位 h 这段时间内行驶的路程s是多少 将行驶的时间1h平均分成10份 解析分别用v 0 v 0 1 v 0 2 v 0 9 近似替代汽车在0 0 1h 0 1 0 2h 0 8 0 9h 0 9 1h的平均速度 求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值 v 0 v 0 1 v 0 2 v 0 9 0 1 1 715 km 分别用v 0 1 v 0 2 v 0 3 v 1 近似替代汽车在0 0 1h 0 1 0 2h 0 8 0 9h 0 9 1h的平均速度 求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值 v 0 1 v 0 2 v 0 3 v 1 0 1 1 615 km 无论用还是估计汽车行驶的路程s 估计误差都不会超过1 715 1 615 0 1 km 1 曲边梯形的定义 分割区间 过剩估计值不足估计