人教B版选修1-2综合法和分析法(上课用)

演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 复习 合情推理得到的结论是不可靠的 需要证明 数学中证明的方法有哪些呢 综合法和分析法 直接证明 1概念从原命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推得命题成立 2直接证明的一般形式 例1 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 在数学证明中 我们经常从已知条件和某些数学定义 定理 公理 性质等出发通过推理导出所要的结论 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法也叫顺推法或由因导果法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 1 综合法 顺推法 由因导果法 综合法是由一个个推理组成的 例2 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 2 分析法 逆推法 执果索因法 从证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知 定理 定义 公理等 这种证明的方法叫做分析法 用Q表示所要证明的结论 则分析法可用框图表示为 得到一个明显成立的条件 例2求证 证明 因为 和 都是正数 所以要证 只需证 展开得 只需证 只需证 因为 成立 所以 成立 分析 由已知条件和结论我们联想到数量积定义和三解形的面积公式 由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路 巩固练习 证明 要证 证明 只需证 只需证 即证 即证 成立 所以 成立 显然 即证 证法2 要证 只需证 只需证 只需证 上式显然成立 所以 成立 练习 如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证AF SC 证明 要证AF SC 只需证 SC 平面AEF 只需证 AE SC 只需证 AE 平面SBC 只需证 AE BC 只需证 BC 平面SAB 只需证 BC SA 只需证 SA 平面ABC 因为 SA 平面ABC成立 所以 AF SC成立 巩固练习 5 设a 0 是R上的偶函数 1 求a的值 2 证明f x 在 0 上是增函数 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 小结 综合法的定义 501 例2 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 分析 把题中的文字语言转化为符号语言 A C 2B b2 ac 由 1 联想到内角各能得到什么 由 2 联想到三角形什么知识 余弦定理 二者联系起来能得到什么结论 证明 由A B C