一维横场伊辛模型的精确解

一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。这是统计物理发展的里程碑。不过那篇文章及其晦涩难懂。直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为5 ：H=-Jgiix-Ji,jizjz上述式子的意义：其中J0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。对于i,j的求和涵盖了所有i和j最近邻的格点。其中的算符ix,y是我们熟悉的泡利矩阵；i取不同值是其作用在不同的自旋态上，所以ij的两个算符是相互对易的。其中iz本身是对角化的。它们的形式如下：z=100-1 , y=0-ii0, x=0110,在本文中我们研究的一维横场伊辛模型的哈密顿量（周期性边界条件）为：Hg=-12i=1N-1izi+1z+g2i=1Nix当g1时，系统处于顺磁相。这两个相以量子临界点g=gc=1为分界5。这个哈密顿量在以iz的本征态为基矢时的矩阵表示是非对角化的。求解这个哈密顿量即是把哈密顿量的表示矩阵变换成对角形式。但可惜的是，在此基矢下，矩阵的维数是以2N的方式随N的增大而增长。所以随着格点数N的增加，计算机做这个矩阵对角化所需要的时间是以指数方式增长的，在现有计算机中是无法在可接受的时间尺度内进行有效求解的，这即是所谓的指数墙问题。指数墙问题的根本性解决依赖于量子计算机领域的新突破。幸运的是，我们想要求解的一维横场伊辛模型是一个特别的模型，它可以通过某些技巧来进行精确求解，得到解析的表达式。为了求一维横场伊辛模型的精确解，必须要做一些变换，下面将一一介绍。2.2 JordanWigner变换10-12JordanWigner变换是解一维横场伊辛模型必不可少的工具5 。它是在自旋模型和费米子模型之间的一个非常有用的映射。根据泡利不相容原理，在每个格点上，费米子只能有存在0个或1个粒子这两种状态。因此，可以将每个格点上自旋的两种状态映射到费米子的两种存在状态上，用费米子的产生湮灭算符来代替自旋算符。但可惜的是，事情并没有那么简单，我们并不可以直接把自旋算符换成产生湮灭算符，因为对于同一个格点，自旋算符满足对易关系，而费米子产生湮灭算符则满足反对易关系。对于一维自旋问题，真正可以用的变换最先由Jordan和Wigner在1928年得到，他们的做法是在原来的产生湮灭算符的前面乘上一个由格点位置决定的相因子，来使其满足原来自旋算符的对易关系。所以，考虑到自旋算符和费米子算符各自的对易关系，变换式可以写为：i+=ji1-2cjcjciiz=1-2cicii-=ji(1-2cjcj)ci其中费米子产生湮灭算符对易关系： ci , cj=ijci ,cj=ci ,cj=0上述变换是JordanWigner变换的一种常用形式，但我们为了方便，在分析伊辛模型时，常常把自旋轴绕y轴转90：z x x-z 所以实际要用的变换式是：ix=1-2cici iz=ji1-2cjcj(ci+ci)将上式代入到H(g)中：Hg=-12iji1-2cjcj(ci+ci)ji+11-2cjcj (ci+1+ci+1)+g(1-2cici)利用费米子产生湮灭算符的对易关系化简：Hg=-12iji1-2cjcjji1-2cjcj(ci+ci)(1-2cici)(ci+1+ci+1)+g(1-2cici) =-12iji1-2cjcjji1-2cjcj(ci-ci)(ci+1+ci+1)+g(1-2cici)其中 ji1-2cjcjj0(ckcke-ik+c-kckeik+ckc-ke-ik+ckckeik-2gckck+c-kc-keik+ckc-ke-ik+c-kckeik+c-kc-ke-ik-2gc-kc-k)利用恒等式：cosk=12(eik+e-ik)isink=12(eik-e-ik)哈密顿量可化简为：Hg=k0(-coskckck-coskc-kc-k-isinkc-kck-isinkc-kck+gckck+gc-kc-k)=k0g-coskckck-c-kc-k+isinkckc-k-c-kck =k0ckc-kg-coskisink-isinkcosk-gckc-k 哈密顿量在这种形式下就显然的可以利用正则变换变换成对角形式，也就是利用ck，c-k，c-k，ck的某种线性组合重写哈密顿量Hg。这种变换叫做Bogoliubov变换。2.4 Bogoliubov变换下一步就是要利用Bogoliubov变换，定义新的准粒子产生湮灭算符，把中间的22矩阵对角化，使哈密顿量变为对角形式。Bogoliubov变换的变换式为：ck=ukgk-ivk(g)-kc-k=ukg-k-ivk(g)k ， ck=u*kgk+iv*k(g)-kc-k=u*kg-k-iv*k(g)k带入哈密顿量：Hg=k0(k-k)u*kgiv*k(g)iv*k(g)u*kgg-coskisink-isinkcosk-gukg-ivk(g)-ivk(g)ukgk-k =k0k-kg-cosku*kg+sinkv*kgisinkv*kg+icosk-gv*kgig-coskv*kg+isinku*kg-sinkv*kg+cosk-gu*kgukg-ivk(g)-ivk(g)ukgk-k=k0(k-k)M11M12M21M22k-k其中矩阵元M的表达式如下：M11=g-cosku*kg+sinkv*kgukg+sinkv*kg+cosk-gv*kgvkg M12=-ig-cosku*kg+sinkv*kgvkg+isinkv*kg+cosk-gv*kgukg M21=ig-coskv*kg+sinku*kgukg-i-sinkv*kg+cosk-gu*kgvkg M22=-g-coskv*kg+sinku*kgvkg+-sinkv*kg+cosk-gu*kgukg令其中M12=M21=0化简后可得到对角化的条件是：ukg=cosk(g)vkg=sink(g) , 其中tan2k(g)sinkg-cosk满足此条件时，哈密顿量可以写成：Hg=k0(k-k