求最值问题的几种方法

第 1 页 共 6 页 浅谈求最值问题的几种方法浅谈求最值问题的几种方法 摘要 最值问题综合性强 涉及到中学数学的许多分支 因而这类问题题型广 知识面宽 而且在解 法上灵活多样 能较好体现数学思想方法的应用 在历年的高考试题中 既有基础题 也有一些小综 合的中档题 更有一些以难题的形式出现 解决这类问题要掌握多方面的知识 综合运用各种数学 技巧 灵活选择合理的解题方法 本文就几类最值问题作一探求 关键词 数学 函数 最值 最大值 最小值 1 常见函数的最值问题 1 1 一次函数的最大值与最小值 一次函数在其定义域 全体实数 内是没有最大值和最小值的 但是 如果对自变量bkxy 的取值范围有所限制时 一次函数就可能有最大值和最小值了 x 例 1 设 且 1 0 1 求的最大值与最小值 0 aa 1 1 x a axy xy 解 可化为 下面对一次项系数分两种情况讨论 1 1 x a axy 1 1 a x a ay 1 当 1 时 0 于是函数的函数值是随着的增加而增加的 aa a 1 a x a ay 1 1 x 所以 当 0 时 取最小值 xy a 1 当 1 时 y 取最大值 xa 2 当 0 1 时 于是函数的函数值是随着的增加而减少的 所a0 1 a a a x a ay 1 1 x 以 当 0 时 取最大值 xy a 1 当 1 时 取最小值 xy 例 2 已知是非负实数 且满足条件zyx 503 30 zyxzyx 求的最大值和最小值 zyxu245 分析 题设条件给出两个方程 三个未知数 当然 的具体数值是不能求出的 zyx zyx 但是 我们固定其中一个 不防固定 那么都可以用来表示 于是便是的函数了 需注xzy xux 意的取值范围 从而我们根据已知条件 可求出的最大值与最小值 xu 第 2 页 共 6 页 1 2 二次函数的最大值与最小值 一般地 求二次函数的最大值与最小值 都是根据二次函数的性质和 0 2 acbxaxy 图象来求解 即有 若 0 则当 时 有最小值为 若 0 则当 ax a b 2 y a bac 4 4 2 ax 时 有最大值 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法 判别式法 a b 2 y a bac 4 4 2 例 3 已知 1 2是方程 是实数 的两个实数根 求xx0 53 2 22 kkxkxk 的最大值与最小值 2 2 2 1 xx 分析 一般地 二次函数 若方程有实根 其判别式0 32 2 1 yfxyfxyf 0 如果关于的不等式 0 可以解出的取值范围 便可求出函 4 31 2 2 yfyfyf y y 数的最值 这就是求函数最值的判别式法 xfy 解 由于二次方程有实根 所以 0 53 4 2 22 kkk 解得 4 k 3 4 则 21 2 21 2 2 2 1 2 xxxxxxkf 53 2 2 22 kkk 19 5 2 k 由于在上是减函数 可见当时 有最大值 18 当 kf 3 4 4 4 k kf 2 2 2 1 xx 时 有最小值 3 4 k kf 2 2 2 1 xx 9 50 1 3 三角函数的最大值与最小值 三角函数的最值问题题型广 涉及的知识面宽 而且在解法上灵活多变 能较好的体现数学思 想方法的应用 因而一直是学习中的热点和重点 例 4 已知函数 设 当 为何值时 y 取得 2 cos sin22sinaxxxy xxtcossin t 最小值 第 3 页 共 6 页 解 4 sin 2cossin xxxt22 t xxxt2sin1cossin21 2 即有 12sin 2 tx 1 1 21 2222 atatty22 t 当时 取得最小值 1 ty1 2 a 说明 求三角函数的最值时 方法很多 而在代数中求最值的方法均适用 如配方法 注意三 角函数的取值范围 换元法 注意换元后的范围 判别法 重要不等式 注意取等号的条件 等 等 这里不再赘述 只列举出几种常见的三角函数及最值的求法 1 型 利用三角函数的值域 须注意对字母的讨论 cos sinbxabxay 或 2 型 先引进辅助角化成 再利用有界性 xbxaycossin 22 bay sin x 3 型 配方后求二次函数的最值 须注意 的约束 cxbxay sinsin 2 1sin x 4 型 反解出 化归为解决 dxc bxa y sin sin xsin1sin x 5 型 化归为 利用三角函数的有界 dxc bxa y cos sin sin cos dxc bxa y 或 ygx sin 性求解 或用数形结合法 6 型 常用到换元法 令 cxxbxxay cossin cos sinxxtcossin 2 t 1 4 分式函数的最大值与最小值 求分式函数的最大值与最小值问题 常用到的办法是去分母后 化为关 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa y 于的二次方程 然后用判别式 0 得出的取值范围 进而求出的最大值和最小值 x yy 例 5 求函数的最值 122 32 2 2 xx xx y 解 去分母 整理得 0 3 1 2 12 2 yxyxy 当时 这是一个二次方程 因是实数 所以判别式 0 2 1 yx 第 4 页 共 6 页 即 0 3 12 4 1 2 2 yyy 解得 14 y 当 当 3 1 4 xy时 2 1 xy时 由此即知 当 时 取最小值 4 3 1 xy 当 时 取最大值 1 2 xy 说明 本题求最值的方法叫判别法 是一种常用的方法 但在用判别法时 应特别注意这个最 值能否取到 即是否有与最值相应的值 x 2 一类无理函数的最值问题 无理函数的最值是高中数学教学的一个难点 其形式多样 解法繁杂 学生在解题时常感困惑 下面就研究一类形如 的无理函数最值的解法 dcxbaxy 0 acRdcba 例 6 求函数的最值 以及取最值时的值 64 3184 xxxyyx 解法 1 利用判别式 显然 两边平方得 0 y 318 4 2 214 2 xxxy 移项 平方整理得 048428 1764 16 2422 yyxyx 由 0 48428 64 1764 2422 yyy 得 80 2 y 又 及 0 318 4 2 214 2 xxxy0 y 得 2214 xy 222 y 当 6 时 当 时 x2 min yx 2 9 22 max y 解法 2 巧用三角变换 设 2 sin4yx 2 cos318yx 则 42 sin4yx 42 cos318yx 第 5 页 共 6 页 消去得 x 4 3 4 3 cos4cossin36 22442 y 当 时 即 时 4 3 cos2 2 9 x22 max y 当 时 即 6 时 0cos2 x2 min y 解法 3 善用导数 导数是高中数学中的重要内容 用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段 要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用 善于运用它体念它独特的解题魅力 能使问题得 到简洁 完美的解决 对原函数求导可得 xx y 3182 3 42 1 令 得 0 y 2 9 x 又 计算端点和导数为零的函数值得 6 4 x 6 4 x y2 6 x y22 2 9 x y 由此可得 当 时 当 6 时 x 2 9 22 max yx2 min y 3 其它函数的最值问题 处理一般函数的最大值与最小值 我们常常用不等式来估计上界或下界 进而构造例子来说明 能取到这个最大值或者最小值 例 7 设是正实数 求函数的最小值 x x xxy 1 2 解 先估计的最小值 y1 2 1 12 2 x xxxy 11 1 1 2