例举多元函数最值的求法与技巧

例举多元函数最值的求法与技巧湖南省涟源市伏口中学 阙昌福 摘要:多元函数最值问题在初中数学竞赛中占有十分重要的地位,它是竞赛培训的一个难点,它涉及的知识面广,难度大,解法灵活多样.本文通过具体实例介绍几种求多元函数最值的方法:配方法,消元法,判别式法,构造法,不等式法,代换法,冻结变量法.关键词: 多元函数, 最值问题正文；例举多元函数最值的求法与技巧一、配方法： 配方法是解最值问题的一种基本方法,它的思路是,将问题配成若干个完全平方式的形式. 例1：已知，10,求代数式x2 + y2 + z2-(xy+yz+zx)的最小值。解：由已知等式得x-z=a-10 x2 + y2 + z2-(xy + yz + zx)=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = a2+(a-10)2+102 = (a-5)2+75所以当a=5时，所求代数式的最小值为75.例2: 求实数x,y的值使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2的值最小。解：原式 =5x2+6xy+3y2-30x-20y+46 =5(x+-3)2+(y- )2+当x+-30且y- =0时，上式取得最小值此时x=, y= 原式最小值为 例3:已知x1 ,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个根(k为实数)，求：(x1-1)2+(x2-1)2的最大值。解：设f(k)= (x1-1)2+(x2-1)2 由韦达定理知：x1 + x2 =k-2 ,x1x2=k2+3k+5 则f(k)= (x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2 =(k-2)2-2(k2+3k+5)-2(k-2)+2 =k212k =-(k+6)2+36又由-(k-2)2-4(k2+3k+5)0,得-4k- f(k)在-4k- 上是减函数。当k=-4时，f(k)取最大值。即f(k)= (x1-1)2+(x2-1)232.例4:实数x,y满足2x2-6x+y2=0,求x2+y2+2x的最大值。解：由题设得：y2=6x-2x2 x2+y2+2x=x2+6x-2x2+2x =-x2+8x =-(x-4)2+16 而2x2-6xy20即0x3,在0x3上f(x)为增函数所以x=3时取最大值，且最大值为15.例5:实数x,y,z满足条件xy+yz+zx=-1,记s=x2+5y2+8z2,求s的最小值,并求取得最小值时x,y,z的值. 解:s= x2+5y2+8z2=(x+2y+2z)2+(y-2z)2-4xy-4yz-4xz 由于 xy+yz+zx=-1,所以 s= (x+2y+2z)2+(y-2z)2+4 若方程组 有实数解时,s的最小值为4.下面解这个方程组: 由得y=2z代入得x=-6z把 y=2z, x=-6z代入 得z2 =, z=.而当z=时, x=- , y= ;当z=- 时,x= ,y= - .综上所述,当x= ,y= - , z=- 或x=- , y=, z=时s有最小值, 最小值为4.注：用配方法解多元函数最值问题时，应注意以下两点： 求函数最值时，应考虑自变量的取值范围。 一个复杂的函数式若能写成二次函数型的复合函数，(x)=ag2(x)+bg(x)+c. (a,b,c为常数)，也可用配方法求最值。二、消元法求解多元函数最值问题的主要思想是“转化”，“化多元为一元”具体手段除了配方法外，还有一种重要的方法消元法。当转化为一元函数问题后，要注意该变量的取值范围的变化。例6:已知x,y,z为实数，且x+2y-z=6, x-y+2z=3,求x2+y2+z2的最小值。解：由 解得 于是x2+y2+z2x2+(5-x)2+(4-x)2 =3(x-3)2+14 当x=3时，x2+y2+z2有最小值，最小值为14.例7：已知：实数x,y满足x2+4y2=1, 求x+5y2的最大值解：由x2+4y2=1得y2= 所以x+5y2=x+=- x2+x+由1-x20知1x1对称轴x=-= 在-1x1之间x= 时，x+5y2有最大值，最大值为例8:三个非负实数a,b,c满足条件3a+2b+c=5, 2a+b-3c=1, 记s=3a+b-7c,求s的最大值与最小值。分析：a,b,c三个变量都在变化，欲求最值十分困难，但由题设可将a,b都用c表示，则s可转化为以为变量的给定区间上的一元函数的最值问题解：由已知条件 得 则s=3a+b-7c=3(7c-3)+(7-11c)-7c=3c-2a0,b0, 解得 c ,故，- s- 当c=时取最大值，最大值为-;c=时取最小值，最小值为- . 小结：由以上几例可以看出，通过消元法可将多元函数转化为一元函数，再通过一元函数的某些性质，求得原函数的最值三、判别式法把变量看作未知数，将原函数整理成关于该未知数的一元二次方程，利用未知数是实数，可由判别式确定函数的取值范围应用这种方法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即有没有相应的变量与之对应例9：已知x,y,z为实数，且z=5-x-y, xy+yz+zx=3试求z的最大值与最小值解：由z=5-x-y得y=5-x-z代入xy+yz+zx=3 并整理得：x2+(z-5)x+(z2-5z+3)=0 因为x实数，利用判别式大于或等于0得=(z-5)2-4(z2-5z+3)0 即 3z2-10z-130解得 :-1z故z的最大值为,最小值为1例10：实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5 设 s=x2+y2 求s的最大值与最小值解:s- 5 得:(4s-5)x2-5sxy+(4s-5)y2=0 当y=0时,由得 x2= , s= 当y0时,可转化为(4s-5)()2-5s()+4s-5=0x, y均为实数, 0,即(-5s)2-4(4s-5)20解得: s故s的最大值为,最小值为.例11：已知实数x, y满足(x-3)2+(y-3)2=6,求 的最大值与最小值解：令 =t,则y=tx,代入已知方程得：(t2+1)x2-6(t+1)x+12=0 由于x是实数，所以0即=36(t+1)2-48(t2+1)0解得:3-2t3+2t的最大值与最小值分别为3+2,3-2.例12：设x, y是实数,且x2+xy+y2=3,求x2-xy+y2的最值.解:设x2-xy+y=m, 又x2+xy+y2=3, 解得:x+y=, xy= , 则x,y是方程t2t+=0的两个实根 从而有D=2-40 解得:m1又0即m9, 1m9故所求的最大值为9,最小值为1. 例13：已知点P的坐标(x, y),是方程x2+y2=1的解,求使k=x2+2xy-y2取最小值时,P的坐标.解:设y=mx,代入x2+y2=1得 (1+m2)x2=1 x2= 将x2代入 y=mx中.得 (1+m2)y2=m2从而k= 即(k+1)m2-2m+(k-1)=0m是实数, =(-2)2-4(k+1)(k-1)0解得: -2k2把k=-2代入(k+1)m2-2m+(k-1)=0中,求得m=-.将m=-代入x2= 得x= 从而 y=m、故最小值k=-2,P点坐标为(, - )或(-, ).例14:考察一切这样的二次函数y=ax2+bx+c ,(a0)且a0,且b2-4ac0又由已知易得m0,且c=mb-ma-a-b代入b2-4ac0得 B2-4a(mb-ma-a-b)0即 b2+4a(1-m)b+4a2(m+1)0 因为上述关于b的一元二次不等式有解,所以0,即: 4a(1-m)2-16 a2(m+1)0 , 整理得 m2-3m0注意到mo ,解得 m3 ,即m的最小值为3.四、构造法求某些函数最值问题时,如果单纯从代数的角度去分析思考,往往很难找到正确的解题途径,这时若能根据函数式结构特点,联想到与之相应的几何背景、代数背景就可使问题迎刃而解.构造法解题贵在“创新”,解题时打破常规.另辟蹊径,表现出简捷,明快,精巧的特色. 例15: :设x+2y=1, 求xy的最大值解:把x, 2y看作一元二次方程的两根,那么两根之和为x+2y=1,两根之积为2xy,于是可构造关于z的方程为:z2-z+2xy=0 由于此方程有两实根x,2y,所以=1-8xy0 得 xy (两根相等时取等号)，即xy的最大值例16：设x+y的平方和与立方和分别为7,10求x+y的最大值.解:由 可推出 令m=x+y, n=xy 则 由得n= m2-7代入 得 m3-21m+20=0 解得 m=1,4,-5.从而x+y的最大值为4.例17:设m,n,p为正实数,且m2+n2-p2=0,求的最小值. 解: 由题设m,n,p为正实数,且m2+n2=p2,联想勾股定理从直角三角形出发,构造直角梯形,如下图,令 AB=CE=m , AE=CD=n, BE=ED=p ,则BD= p,显然ACBD即m+n p ,( 当m=n时,即直角梯形为矩形时取等号)从而,故的最小值为. A m B例18:若实数a1,a2,a7 满足a1+a2+a7=12 , n pa12+a22+a72=24,求a7的最大值. 分析:注意到(x+a1)2+(x+a2)2+(x+a6)20,且 Ea7可用a1,a2,a6来表示,6x2+2(a1+a2+a6)x+(a12+a22+a62)= (x+a1)2+(x+a2)2+(x+a6)20 m p可构造二次函数.解: 构造二次函数y=6x2+2(a1+a2+a6)x C n D+(a12+a22+a62)因为二次项系数为正,函数值恒为非负,所以判别式为非正,则=4(a1+a2+a)2-24(a12+a22+a62)0,4(12-a7)2-24(24-a72)0 解得0a7,故a7的最大值为.由上可知,构造法可以解决许多最值问题,它要通过仔细观察和分析,去发现问题的各个环节及其中的联系,从而为寻求解法创造条件.五、不等式法不等式与最值密切相关,比如,可以先求得pa,(pa),然后可以验证取等号,则p的最小值(最大值)就等于a,这是利用不等式求最值的基本思路,例19:x,y,z是正实数,且满足条件xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值.解: (x+y)(y+z)= xy+y2+yz+zx= y(x+y+z)+xz =xz + 2 =2 当xz= 即xz=1时,等号成立,(x+y)(y+z)的最小值为2. 例20:已知实数x,y,z满足 (a0)求a的最大值.解:x2+y22xy y2+z22yz z2+x22xz +得:2(x2+y2+z2)2(xy+yz+xz) x2+y2+z2xy+yz+xz (x+y+z)2= x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)把代入上式得:a2= a+2(xy+yz+xz)xy+yz+xz=a2-a 把代入得: aa2-a a(2a-3)0注意到a0,解得a ,a的最大值为.例21:已知x,y,z为实数,且x+y+z=1, xyz=2, 求|x|+|y|+|z|的最小值.解:不妨设xyz,则由已知可知:x0, y、z同号. 若y0,z0.由x+y+z=1可知x1,y1,z1.这时xyz1与知xyz=2矛盾,故y0,z0不成立,y0且z0且方程ax2+bx+c=0的两个不同的正根都小于1,求a的最小整数值.解:由已知可得: Y O | x 1 由知a0 由知b4ac |b|2 -b2 由得a+c-b a,-b,c都是正整数,a+c-b+1 由得a+c2+1,即(-)21 .又由知ac -0 从而-1 1+由于c0,c是整数,c1,故1+1=2a的最小整数值是5,例23:若x,y,z均为非负实数,且满足9x2+12y2+5z2=9,求函数f(x,y,z)=3x+6y+5z的最大值.解:由柯西不等式得:(3x)2+(y)2+(z)212+()2+()2(3x1+y+z)2(3x+6y+5z)2(9x2+12y2+5z2)(1+3+5), 即3x+6y+5z=9当且仅当=时,即x=, y=,z=时, 函数f(x,y,z)有最大值,最大值为9.六、代换法 代换法是中学数学中一个重要的数学方法,包括增量代换与参数法.对于某些较难的数学问题,巧施此法能事半功倍,大大提高解题速度.1、增量代换: 例24:设x+y+z+w=4a (a0),求x2+y2+z2+w2的最小值. 解:设x=a+s, y=a+t, z=a+m, w=a+n. 显然有:s+t+m+n=0. x2+y2+z2+w2=(a+s)2+(a+t)2+(a+m)2+(a+n)2 =4a2+2(s+t+m+n)a+(s2+t2+m2+n2) =4a2+(s2+t2+m2+n2)4a2. 当s=t=m=n=0时取等号,x2+y2+z2+w2的最小值为4a2. 例25:如果实数a,b,c满足a+b+c=0,求ab+bc+ca的最大值.解:由a+b+c=0得a+b=2 ,设a= -+d ,b=-d.则ab+bc+ca=(-+d)( -d.)+ (-d)c+(-+d)c . = -(c2+d2)0 .即a=b=c=d=0时, ab+bc+ca有最大值为0.2、参数法:例26:已知不等边ABC的两条高分别是4和12,若第三条高h也是整数,求h的最大值.解:设三角形的三边长为a,b,c且a,b边上的高分别是4,12.