数学北师大版九年级下册《从梯子的倾斜程度谈起》教学设计.doc

从梯子的倾斜程度谈起教学设计课题：从梯子的倾斜程度谈起教材：义务教育课程标准试验教科书 数学 九年级下（北京师范大学出版社）教师：西安市第七十中学 张莹一、教材分析本章是九年级下册的第一章直角三角形的边角关系，教材内容的顺序是：正切正弦、余弦特殊角的三角函数值三角函数的有关计算三角函数的应用.我的认识如下：从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数正切，先学正切，再类比正切学习正弦、余弦，接着考察特殊角的三角函数值，在此基础上过渡到利用计算器求一般角的三角函数值和已知三角函数值求角度，最后回到问题的解决和实际应用；这样安排一方面因为正切是生活中用得最多的三角函数概念，更为常见，如刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，因而先从实际问题引入正切，学习完正切后类比即可学习正弦、余弦；另一方面，这样的顺序更有利于初中学生的学习，符合学生从具体情境中发现问题、寻求解决问题办法，再进一步解决问题的思路，符合具体到抽象的认知规律.本节包括正切、正弦、余弦的定义，直角三角形边角关系的简单计算两大部分，分为两课时完成.本节课是第一课时，将从梯子的倾斜程度引入正切，进行有关正切的简单计算.教材在这个内容的安排上是：先探究哪个梯子更陡，再从具体解法中提炼出刻画梯子倾斜程度的量角的对边与邻边之比，由此抽象概括出正切的定义，最后是正切的简单计算和实际应用.这样的安排不仅体现出义务教育数学课程标准（2011版）中要求从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境的教学理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.通过本节课的学习，学生不仅能初步体会边角之间的数量关系，理解正切的意义，进行一些简单的计算，而且有助于学生进一步感受分类思想、转化和化归思想、数形结合的思想；同时为进一步学习锐角的正弦、余弦，解三角形奠定良好的基础，也为高中阶段学习一般角的三角函数奠定良好的基础.二、学情分析学生在学完直角三角形的相关内容后，已经对直角三角形的边和边的关系、角和角的关系有了一定的认识，这为学生进一步学习直角三角形的边角关系奠定了一定的基础；学生也已经历了线段的比、比例和图形的相似等知识的学习，具备了计算两条边的比值、判断比值是否相等基本知识要求和推理证明的能力；同时初一初二各种探究活动的顺利开展，也让学生具备了一定的合作学习，探究学习的能力. 这节课的授课对象是我校初三的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的推理运算的技能、空间想象能力和抽象概括能力，有较好的学习习惯和方法，这也是本节课顺利开展的前提条件.三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循义务教育数学课程标准（2011年版）对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程；2. 理解正切的意义和现实生活的联系；3.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；4.体会分类的思想、建模的思想、转化和化归的思想、数形结合的思想在解决数学问题中的应用；5.通过梯子、坡面等实例让学生感受正切在现实生活中的应用.教学重点:1.探索直角三角形中边角关系，从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；2.理解正切的数学意义；教学难点: 从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义；理解正切的数学意义.四、教学问题诊断本节课的教学难点是从梯子倾斜程度的刻画中抽象出正切的定义和正切意义的理解.对教学难点的突破我采取的策略是：1.让学生通过充分的思考、小组讨论、交流，判断哪个梯子更陡，总结刻画梯子倾斜程度的各种方法，对方法进行总结、提炼，最终将梯子倾斜程度量化为两种数量：角度,角的对边和邻边之比.通过设问“能否建立角与角的对边、邻边之比之间的关系”自然的引出正切；在这一过程中，教师不作引导，由学生自己寻找方法，再将学生的结果展示交流，并进行归纳、总结；2.鉴于正切的符号表示比较抽象，学生的理解需要一定的过程，我的做法是设置不同形状的直角三角形，帮助学生理解；同时利用母子图中角的相等关系，让学生借助相似三角形有关知识进一步明确：当角度确定后，角的对边与邻边之比也将确定这一结论； 在此基础上设问：结合该图形，你还能提出哪些有关正切的问题？增强问题的开放性，提高学生发现问题、提出问题的能力.五、教学过程教学过程设计说明一、创设情境，引入课题（ppt展示2002年北京数学家大会的会标，中央图案是经过处理的“弦图”） 提问：(1)大家还记得这个图吗？（明确考察对象：弦图中的一个直角三角形）(2)直角三角形中有哪些基本元素呢？(3)直角三角形的边和边之间有什么关系呢？角和角呢？(4)直角三角形的边和角有什么关系呢？点题：第一章 直角三角形的边角关系(展示第一章章前图)今天我们从梯子的倾斜程度谈起先来了解直角三角形边角之间其中的一种关系正切.通过学生已经熟悉的“弦图”让学生首先有一种亲切感，同时也让学生心里上产生疑惑：弦图和我们本章学习有什么关系，从而引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望；同时也让学生感受分类的数学思想.二、问题探究，总结方法问题引入：(动画显示梯子、水平地面、墙面所形成的直角三角形，将实际问题抽象为直角三角形，并交代图中的三个量：铅直高度、水平宽度、倾斜角)问题1：经常会听人们说“陡”这个字，如图，哪个梯子更陡？你是如何判断的呢？ 问题2：如图(1)、图(2)，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？能否用“直角三角形的一条边”刻画梯子的倾斜程度呢？ （图1） （图2）（图3）问题3：如图(3)，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？既然利用“直角三角形的一条边”无法刻画梯子的倾斜程度，如何改进呢?问题4(探究活动)：如图(4)，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的. 先安排学生独立思考，然后让学生四人为一组，利用学习提纲合作完成问题的探究.活动步骤：1. 小组成员首先思考如何解决该问题，然后结合手中学案中的图形完成问题的解答，最后思考你们是用什么量刻画梯子的倾斜程度的？2. 汇报成果：先说说你们解决问题的思路，再结合学案中图形汇报你们得到的结论. （图4）【方法总结】学生可能的方法有：一、 测量倾斜角；(通过测量学生发现本题两个角度非常接近，同时测量存在误差，不能准确的给出结论；老师顺势点拨在很多实际问题中，人们往往无法测得倾斜角，除了测量倾斜角能否有别的办法呢？)二、 固定铅直高度、水平宽度中一个，考察另一个长短；或者建立直角坐标系通过求直线的解析式，根据的大小比较.具体如下图：(O)结论：几种方法都可以归结为考察比值的大小.方法1：AC一定情况下，BC越小，比值越大，梯子越陡；方法2：BC一定情况下，AC越大，比值越大，梯子越陡；方法3：比值越大(即k越大)，梯子越陡.问题5：如图(5)，小明想通过测量及，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；小亮则认为，通过测量及，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？为什么？试说明你的理由.（图5）问题6：如图(6)，如果改变在梯子上的位置呢（比如在处）？由此你能得出什么结论？（图6）问题7：倾斜角与这个比值之间是否可以建立某种关系？(1)前面提到：倾斜角越大梯子越陡(2)同时发现：倾斜角所对的边与邻边之比越大梯子越陡 问题引入让学生明确后续讨论三个数量：铅直高度，水平宽度，倾斜角.问题(1)先利用两个直观的图形展开梯子倾斜程度的探讨，明确刻画梯子倾斜程度的一种方法：倾斜角.为后续建立倾斜角和对边、邻边之比做好铺垫.问题(2)利用标明具体长度的两组梯子探讨哪个更陡，目的是先固定一个量，考察一个变量，便于学生的理解和学习，也体现化归的数学思想；问题(3)让学生体会到铅直高度和水平距离两个量尽管都在变化，但是两架梯子的倾斜程度是相同的，初步感受刻画梯子的倾斜程度是由一个比值来决定的，而不单是某条线段的长短.探究问题有一定难度，学生在自己思考基础上，小组讨论容易将学生零散的、个性化想法转化为学生共性的、完整的一个设计；通过该问题讨论，逐步提炼出可以用线段的比刻画梯子的倾斜程度问题(5)让学生体会到梯子与水平地面的倾斜角一旦确定，对边与邻边的比值也将确定，为引入正切奠定基础.问题6让学生进一步体会数学中变与不变的量，明确当直角三角形中的锐角确定后，它的对边与邻边的比也随之确定.通过总结提炼的两条结论：角越大，梯子越陡；比越大，梯子越陡.引导学生去思考两者之间的关系，自然地引出正切.三、正切的定义1.正切的定义在RtABC中,如果锐角A确定,那么A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做A的正切，记作:tan A，即：2.变式思考思考1：B 的正切又该如何表示呢？思考2：换一个直角三角形， A ,B的正切你会表示吗？(动画展示)思考3： （动画展示过点C作AB边上的垂线，垂足为D）A都可以看成是哪些直角三角形的内角？在不同的直角三角形中A的正切你会表示吗？ A的正切值都相同吗？思考4：就该图，你还能提出哪些关于正切问题？定义学习之后增加四个思考题，有以下用意：问题1意在让学生进一步巩固对于正切的理解；问题2让学生在变换直角三角形的图形后真正理解正切，从定义上深刻把握正切的内含；问题3让学生在较为复杂的图形中明确如何去求某一个角的正切，并通过两个相似的直角三角形进一步加深对于角度确定，对边与邻边的比将确定的理解;问题4意在培养学生发现问题，提出问题的能力.四、实际应用1.问题解决议一议：前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tan A有关系吗？tan A 越大 梯子越陡（“线段之比”刻画） A越大 梯子越陡（“角”刻画） A 越大 tan A 越大 2.例题解析例.下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?3.联系生活正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度 (即 )就是： 在正切定义学习基础上，再回到本节课主题“梯子的倾斜程度”，让学生体会数学源自生活并应用于生活；明确刻画梯子的倾斜程度除了倾斜角，还有角的正切.例题1通过计算正切值判断梯子的倾斜程度是对上述结论的直接应用.通过坡度的介绍让学生体会正切在实际生活中的应用；通过坡度的实际计算让学生进一步区分坡角和坡度.五、课堂总结1、知识内容：(1)正切的定义：在RtABC中，A的对边与邻边的比叫做A的正切.记作:tanA，即：.(2)倾斜角、倾斜角的正切与梯子倾斜程度的关系：越大梯子越陡；tan A越大梯子越陡；越大 tan A越大.(3)坡度与坡角:坡度是坡角的正切2、学习流程：哪个梯子更陡问题 探究变式思考理解定义实际应用联系生活总结方法引入正切3、思想方法：(1)分类的思想；(2)建模的思想；(3)转化与化