2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

第 1 页 共 13 页 20082008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一分 下列每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数则的零点个数 2 0 ln 2 x f xt dt fx 01 23 A B C D 解 B 解 22 ln 2 22 ln 2 fxxxxx 恒大于 0 所以在上是单调递增的 2 2 2 4 2ln 2 0 2 x fxx x fx 又因为 根据其单调性可知只有一个零点 0 0 f fx 2 函数在点处的梯度等于 arctan x f x y y 0 1 Ai Bi Cj D j 解 A 解 由 22 22 22222 22 1 0 1 1 1 1 xx xx yyy ff xxyxy yy 2 2 222 2 0 1 0 1 yy x xy ff xxy y 所以 0 1 10 gradfiji 3 在下列微分方程中 以 为任意常数 为 123 cos2sin2 x yC eCxCx 123 C C C 通解的是 A440yyyy B440yyyy C440yyyy D440yyyy 解 D 第 2 页 共 13 页 解 由可知其特征根为 123 cos2sin2 x yC eCxCx 12 3 1 2i 故对应的特征方程为 2 1 2 2 1 4 ii 32 32 44 44 所以所求微分方程为 选 440yyyy D 4 设函数在内单调有界 为数列 下列命题正确的是 f x n x 若收敛 则收敛 若单调 则收敛 A n x n f x B n x n f x 若收敛 则收敛 若单调 则收敛 C n f x n x D n f x n x 解 5 设设为为阶非零矩阵 阶非零矩阵 为为阶单位矩阵阶单位矩阵 若若 则 则 AnEn 3 0A 不可逆 不可逆 不可逆不可逆 不可逆 不可逆 可逆可逆 AEA EA BEA EA 可逆 可逆 可逆可逆 可逆 可逆 不可逆不可逆 CEA EA DEA EA 解 选 C 分析 23 EA EAAEAE 23 EA EAAEAE 故均可逆 EA EA 6 设为 3 阶实对称矩阵 如果二次曲面方程在正交变换下的标准A 1 x x y z A y z 方程的图形如图 则的正特征值个数为 A 0 1 2 3 A B C D 解 选 B 分析 此二次曲面为旋转双叶双曲面 此曲面的标准方程为 故的正 222 22 1 xyz ac A 特征值个数为 1 7 设随机变量独立同分布且分布函数为 则分布函数 X YX F x max ZX Y 为 第 3 页 共 13 页 A 2 Fx B F x F y C 2 11F x D 11F xF y 解 选 A max F ZP ZzPX Yz 2 P Xz P YzF z F zFz 8 设随机变量 且相关系数 则 0 1XN 1 4YN 1 XY A 211P YX B 211P YX C 211P YX D 211P YX 解 选 D 用排除法 设 由 知道正相关 得 排除 A C YaXb 1 XY X Y0a 由 得 0 1 1 4 XNYN 0 1 EXEYE YE aXbaEXb 10 1abb 排除 C 故选择 D 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 微分方程满足条件的解是 0 xyy 11y y 解 1 y x 由所以 又 所以 lnln dyy dydx yx dxxyx 1 x y 1 1y 1 y x 10 曲线在点处的切线方程为 sinlnxyyxx 0 1 解 1yx 解 设 斜率 sin ln F x yxyyxx 1 cos 1 1 cos x y yxy Fyx k F xxy yx 第 4 页 共 13 页 在处 所以切线方程为 即 0 1 1k 1yx 1yx 11 已知幂级数在处收敛 在处发散 则幂级数 0 2 n n n ax 0 x 4x 的收敛域为 0 3 n n n ax 解 1 5 由题意知的收敛域为 则的收敛域为 0 2 n n n ax 4 0 0 n n n a x 2 2 所以的收敛域为 0 3 n n n ax 1 5 12 设曲面是的上侧 则 22 4zxy 2 xydydzxdzdxx dxdy 8 解 222 1 00 2 xydxdyxdzdxx dxdyxy dxdy 1 42 48 2 dxdy 13 设为 2 阶矩阵 为线性无关的 2 维列向量 则A 12 1212 0 2AA 的非零特征值为 A 解 分析 12121212 02 0 2 01 AAA 记可逆 故 12 PP 1 02 01 P APB 与有相同的特征值 故非零的特征值为AB 2 1 01 EB 1 2 0 1 1 14 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布 则 X 2 P XEX 第 5 页 共 13 页 解 1 1 2 e 因为 所以 X 服从参数为 1 的泊松分布 22 DXEXEX 2 2EX 所以 1 1 2 2 P Xe 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 4 0 sinsin sinsin lim x xxx x 解 43 00 sinsinsin sinsinsinsin limlim xx xxxxx xx 2 0 coscos sin cos lim 3 x xxx x 2 00 cos 1 cos sin sin sin cos limlim 36 xx xxxx xx 0 sin1 lim 66 x x x 16 本题满分 10 分 计算曲线积分 其中是曲线上从点到点 2 sin221 L xdxxydy Lsinyx 0 0 的一段 0 解 22 0 sin22 1 sin22 1 sin cos L xdxxydyxxxx dx 2 000 sin2sin2sin2xdxx x dxxdx 2 0 1 cos2 2 xdx 2 0 1 cos22 cos2 02 xxxxdx 2 0 11 cos20 2 cos2 22 xxdx 第 6 页 共 13 页 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 11 cos20 2 cos2 22 11 2sin2 222 1 sin2 22 1 sin2sin2 22 1 1 cos2 22 2 2 xxdx xdx xdx xxxdx x 17 本题满分 10 分 已知曲线 求曲线距离面最远的点和最近的点 222 20 35 xyz C xyz CXOY 解 解 222 20 35 xyz xyz 得 5 3 xy z 2 22 5 20 3 xy xy 22 4520500 xx yyy 2222 452050F x yxyxx yyy 22450 F xxy x 242200 F yxy y 22 4520500 F xx yyy 15 15 xx yy 得 22 max 5 5 1 5 2 zxy 第 7 页 共 13 页 22 min 1 1 1 1 2 zxy 18 本题满分 10 分 函数连续 证明可导 且 f x 0 x F xf t dt F x Fxf x 证 设获得增量 其绝对值足够小 使得 则 如图 图xx xxa b F x 中 在处的函数值为 0 x xx 0 xx F xxf t dt 由此得函数的增量 00 00 xxx xxxx x xx x FF xxF x f t dtf t dt f t dtf t dtf t dt f t dt 再应用积分中值定理 即有等式 Ff 这里 在与之间 把上式两端各除以 得函数增量与自变量的比值 xxx x F f x 由于假设连续 而时 因此 于是 令 f x0 x x 0 lim x ff x 对上式两端取极限 左端的极限也应该等于 故的导函数存在 并且0 x f x F x F xf x 19 本题满分 10 分 用余弦级数展开 并求的和 2 1f xx 1 2 1 1 n n n 解 由为偶函数 则 f x0 1 2 n bn 对1 2 n 0 2 cos n af xnxdx 2 00 2 coscosnxdxxnxdx 第 8 页 共 13 页 2 0 2 0cosxnxdx 2 0 2sin2 sin 0 xnxxnx dx nn 2 2 2 1 n n 2 4 1 n n 2 2 0 0 2 1 2 1 3 axdx 所以 2 0 1 1cos 2 n n a xanx 2 2 1 4 1 1cos 3 n n nx n 取 得 0 x 2 2 1 4 1 11 3 n n n 所以 2 2 1 1 12 n n n 20 本题满分 11 分 是三维列向量 为的转置 为的转置 TT A T T 1 证 2 若线性相关 则 2r A 2r A 解 为三维列向量 则 1 T r 1 T r 2 TTTT r Arrr 线性相关 不妨设 k 2 1 12 TTTT r Arkkrkr 21 本题满分 11 分 第 9 页 共 13 页 设矩阵 现矩阵满足方程 其中 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa AAXB 1 T n Xxx 1 0 0 T B 1 求证 1 n Ana 2 为何值 方程组有唯一解 求a 1 x 3 为何值 方程组有无穷多解 求通解a 解 2 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 2 2 1 1 2 2 21 3 01 2 4 034 1 2 1 3 23 1 1 0 n a a a aa aa aa A aa aa a a a aana ana n na n 方程组有唯一解 由 知 又 故 AxB 0A 1 n Ana 0a 记 由克莱姆法则知 n n AA 第 10 页 共 13 页 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 22 22 1 21 11 21 021 2 2 1 1 2 2 2121 2121 22 11 22 1 1 nn nn n n n n a aa a aa aa aaA Aaa x aaAA aaaa aaaa aaaa nan nana 方程组有无穷多解 由 有 则0A 0a 011 010 0 01 0 0 A B 故 1r A Br An 的同解方程组为 则基础解系为 为任意常数 0Ax 2 3 0 0 0 n x x x 1 0 0 0 T k k 又 0101 0110 000 01 000 第 11 页 共 13 页 故可取特解为 0 1 0 0 所以的通解为为任意常数 AxB 10 01 00 00 kk 22 本题满分 11 分 设随机变量与相互独立 的概率分布为 的概XYX 1 1 0 1 3 P Xii Y 率密度为 记 101 0 Y y fy 其它 ZXY 1 求 1 0 2 P ZX 2 求的概率密度 Z 解 1 0 11 110 1 33 z F zdyz 1 2 0 1111 0 0 1 2222 P zXP XYXP Ydy 2 当时 2z 1F z 当时 1z 0F z 当时 12z F zP ZzP XYz 1 1 0 0 1 1 P XYz XP XP XYz XP XP XYz XP X 1 1 1 3 P YzP YzP Yz 当时 10z 1 0 11 1 1 33 z F zdyz 当时 01z 0 11 110 1 33 z F zdyz 当时 12z 1 0 11 1 11 1 33 z F zdyz 第 12 页 共 13 页 所以 则 0 1 1 1 12 3 1 z2 z F zzz 1 12 3 0 z f z 其它 23 本题满分 11 分 设是总体为的简单随机样本 记 12 n XXX 2 N 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 22 1 TXS n 1 证 是的无偏估计量 T 2 2 当时 求 0 1 DT 解 1 2 2 1 E TE XS n 2 2 1 EXES n 2 2 1 EX n 因为 而 2 XN 2 XN n 2 2 EXDXEX 22 1 n 所以 T 是的无偏估计 2222 11 E T nn 2 2 22 D TETET 0E T 4 42 22 2 2 S ETE XXS nn 因为