03导数的基本公式和运算法则 王振堂 高等数学 教学课件

一 函数的和 差 积 商的求导法则 三 反函数的导数 二 基本初等函数的导数 四 复合函数的导数 3 3导数的基本公式与运算法则 五 隐函数的导数 六 取对数求导法 八 综合举例 七 由参数方程所确定的函数的导数 一 函数的和 差 积 商的求导法则 如果u x v x 都是x的可导函数 则它们的和 差 积 商 分母不为零时 也是x的可导函数 并且 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 特别地 cu x cu x 公式的推广 u1 u2 un u1 u2 un u1u2 un u1 u2 un u1u2 un u1u2 un 1 证明 3 从略 二 基本初等函数的导数 1 常数的导数 c 0 这是因为 1 c 0 2 幂函数的导数 xn nxn 1 这是因为 以后可证 对任意实数n xn nxn 1 1 c 0 2 幂函数的导数 xn nxn 1 解 例1 求函数y x3 5的导数 y x3 5 3x2 3x2 0 x3 5 解 24x3 3x2 4x 例2 求函数y 1 2x 3x3 2x2 的导数 y 1 2x 3x3 2x2 1 2x 3x3 2x2 2 3x3 2x2 1 2x 9x2 4x 1 c 0 2 幂函数的导数 xn nxn 1 解 例1 求函数y x3 5的导数 y x3 5 3x2 3x2 0 x3 5 解 1 c 0 2 幂函数的导数 xn nxn 1 其中n为任意实数 1 c 0 2 幂函数的导数 xn nxn 1 解 2 xn nxn 1 1 c 0 3 指数函数的导数 ax axlna ex ex 这是因为 ex ex 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 4 对数函数的导数 这是因为 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 三角函数的导数 sinx cosx 这是因为 和差化积公式 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 三角函数的导数 这是因为 5 sinx cosx tanx sec2x cosx sinx 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 三角函数的导数 这是因为 5 sinx cosx secx secx tanx cosx sinx tanx sec2x 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx 解 三 反函数的导数 设函数y f x 在点x处有不等于0的导数f x 并且其反函数x f 1 y 在相应点处连续 则 f 1 y 存在 并且 简要证明 这是因为 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 6 反三角函数的导数 这是因为 函数y arcsinx与x siny互为反函数 所以由反函数的求导公式得 5 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 6 反三角函数的导数 这是因为 函数y arctanx与x tany互为反函数 所以由反函数的求导公式得 5 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx 6 作业 p 13815 3 5 7 17 3 4 6 四 复合函数的导数 设u x 在点x处可导 y f u 在对应点u处可导 则复合函数y f x 的导数为 简要证明 四 复合函数的导数 设u x 在点x处可导 y f u 在对应点u处可导 则复合函数y f x 的导数为 复合函数求导公式的推广 设y f u u v v x 则复合函数y x 对x的导数是 解 y u30 u 1 2x x 例6 求函数y 1 2x 30的导数 设y u30 u 1 2x 60 1 2x 29 60u29 30u29 2 则由复合函数求导公式得 若y f x u x 则 解 设y lnu u sinx 则 例7 求函数y lnsinx的导数 解 y u30 u 1 2x x 例6 求函数y 1 2x 30的导数 设y u30 u 1 2x 60 1 2x 29 60u29 30u29 2 则由复合函数求导公式得 若y f x u x 则 解 y cosu u nx x 例8 求函数y cosnx的导数 设y cosu u nx 则 nsinnx sinu n 解 设y lnu u sinx 则 例7 求函数y lnsinx的导数 解 y u30 u 1 2x x 例6 求函数y 1 2x 30的导数 设y u30 u 1 2x 60 1 2x 29 60u29 30u29 2 则由复合函数求导公式得 若y f x u x 则 解 解 解 解 解 例12 求函数y arcsin 3x2 的导数 解 解 解 解 y a x 例14 求函数y a x的导数 a xlna a xlna x 解 解 y a x 例14 求函数y a x的导数 a xlna a xlna x 五 隐函数的导数 设方程P x y 0确定y是x的函数 并且可导 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数 解2 例16 求由方程y2 2px所确定的隐函数y f x 的导数 将方程y2 2px两边同时对x求导 把y看作x的函数 得 2yy 2p 这是一个包含y 的一次方程 解出y 即得隐函数的导数 解1 由方程解得 因此 或 结果和解法1一致 解 将方程两边同时对x求导 得 例17 求由方程y xlny所确定的隐函数y f x 的导数 解出y 即得 解 例18 由方程x2 xy y2 4确定y是x的函数 求其曲线上点 2 2 处的切线方程 将方程两边同时对x求导 得 2x y xy 2yy 0 解出y 即得 所求切线的斜率为k y x 2 y 2 1 于是所求切线为y 2 1 x 2 即y x 4 解 例19 求由方程ey xy所确定的隐函数y的导数 将方程两边同时对x求导 得 ey y y x y 解出y 得 六 取对数求导法 将函数y f x 两边取对数 化成隐函数求导数 这种方法称之为 取对数求导法 解 例20 求函数y xx的导数 将y xx两边取对数 lny xlnx 两边对x求导数 得 于是得y y lnx 1 xx lnx 1 幂指函数也可以按下法求导 y exlnx xlnx xx lnx 1 exlnx lnx 1 解 先在两边取对数 得 上式两边对x求导 得 下面证明 事实上 七 由参数方程所确定的函数的导数 设x t 有连续反函数t 1 x 又 t 与 t 存在 且 t 0 y与x构成复合函数y t 1 x 利用反函数与复合函数的求导法则 有 导数的计算公式 1 u x v x u x v x 2 u x v x u x v x u x v x 4 cu x cu x 3 5 2 xn nxn 1 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 sinx cosx cosx sinx secx secx tanx cscx cscx cotx tanx sec2x cotx csc2x 基本初等函数的导数公式 七 综合举例 解 3xln3 3x2 0 exlnx xlnx 3xln3 3x2 xx lnx 1 例25 y 3x x3 33 xx 求y y 3x x3 33 xx 例24 y ln cos 10 3x2 求y 解 p 123例20 6 解 当x 0时 当0 x 1时 f x 1 f x 2 在x 0处f x 不连续 故f 0 不存在 在x 1处 有 故f 1 2 当x 1时 f x 2x 7 例28 已知f u 可导 求 f lnx f x a n 及 f x a n f x a n f x a n n x a n 1 x a n x a n 1f x a n f x a n x a n f x a n n f x a n 1 f x a n f x a n 1