控制理论第2章

06 09 第1页 第二章控制系统的数学模型及传递函数 06 09 第2页 06 09 第3页 一 拉氏变换与拉氏及变换的定义 二 典型时间函数的拉氏变换 三 拉氏变换的性质 四 拉氏反变换的数学方法 06 09 第4页 拉普拉斯变换 一 拉氏变换与拉氏及变换的定义 06 09 第5页 拉氏变换的定义 设有时间函数F t 其中 则f t 的拉氏变换记作 L 拉氏变换符号 s 复变量 F s 象函数 f t 原函数 06 09 第6页 拉氏反变换的定义 将象函数F s 变换成与之相对应的原函数f t 的过程 06 09 第7页 二 典型时间函数的拉氏变换 06 09 第8页 2 单位脉冲函数 06 09 第9页 06 09 第10页 06 09 第11页 5 正弦函数sinwt 06 09 第12页 06 09 第13页 线性性质 若有常数k1 k2 函数f1 t f2 t 且f1 t f2 t 的拉氏变换为F1 s F2 s 则有 此式可由定义证明 三 拉氏变换的性质 06 09 第14页 实数域的位移定理 06 09 第15页 复数域的位移定理 若f t 的拉氏变换为F s 对于任一常数a 有 06 09 第16页 微分定理 设f t 的拉氏变换为F s 则其中f 0 由正向使时的f t 值 06 09 第17页 积分定理 设f t 的拉氏变换为F s 则其中时的值 06 09 第18页 初值定理 设f t 的拉氏变换为F s 则函数f t 的初值定理表示为 证明技巧 可利用微分定理来进行证明 06 09 第19页 终值定理 06 09 第20页 卷积定理 设f t 的拉氏变换为F s g t 的拉氏变换为G s 则有式中 称为f t 与g t 的卷积 06 09 第21页 拉普拉斯反变换 四 拉氏反变换的数学方法 06 09 第22页 部分分式展开法 对于象函数F s 常可写成如下形式 式中 p1 p2 pn称为F s 的极点 p1 p2 pn称为F s 的零点 06 09 第23页 F s 总能展开成下面的部分分式之和 其中 分子为待定系数 1 F s 无重极点的情况 06 09 第24页 解一 求F s 的拉氏变换 例 解二 06 09 第25页 设F s 有r个重极点p1 其余极点均不相同 则 2 F s 有重极点的情况 06 09 第26页 解 例 求的拉氏反变换 06 09 第27页 一 概述 二 系统微分方程的建立 三 非线性微分方程线性化 五 方框图及动态系统的构成 六 信号流图及梅逊公式 四 传递函数 06 09 第28页 一 概述 06 09 第29页 对系统各部分的运动机理进行分析 依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式 并在列写过程中进行必要的简化 分析法 根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型 即人为施加某种测试信号 记录基本输出响应 实验法 06 09 第30页 线性系统与非线性系统 1 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统 如果方程的系数为常数 则为线性定常系统 如果方程的系数是时间t的函数 则为线性时变系统 线性系统线性是指系统满足叠加原理 06 09 第31页 线性系统与非线性系统 2 非线性系统 用非线性微分方程描述的系统 非线性系统不满足叠加原理 但在一定条件下可以线性化 06 09 第32页 例 其中 a b c d均为常数 06 09 第33页 本课程涉及的数学模型形式 06 09 第34页 二 系统微分方程的建立 建立微分方程的步骤是 1 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系 确定出待研究元件或系统的输入量和输出量 2 从输入端入手 闭环系统一般从比较环节入手 依据各元件所遵循的物理 化学 生物等规律 列写各自方程式 但要注意负载效应 所谓负载效应 就是考虑后一级对前一级的影响 3 将所有方程联解 消去中间变量 得出系统输入输出的标准方程 4 整理所得微分方程 将与输入量有关的各项放在方程的右边 与输出量有关的各项放在方程的左边 各导数项按降幂排列 06 09 第35页 机械系统微分方程的列写 06 09 第36页 例 直线运动 机械平移系统 06 09 第37页 例 转动系统 06 09 第38页 电网络系统微分方程的列写 06 09 第39页 例 06 09 第40页 非线性微分方程的线性化P31 06 09 第41页 小结 物理本质不同的系统 可以有相同的数学模型 从而可以抛开系统的物理属性 用同一方法进行具有普遍意义的分析研究 从动态性能看 在相同形式的输入作用下 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似 相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础 通常情况下 元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元 惯性质量 弹性要素 电感 电容 液感 液容等 的个数 因为系统每增加一个独立储能元 其内部就多一层能量 信息 的交换 系统的动态特性是系统的固有特性 仅取决于系统的结构及其参数 06 09 第42页 四 传递函数 传递函数的基本定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 06 09 第43页 传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述 式中 nm 当初始条件全为零时 对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式 06 09 第44页 G s 取决于系统或元件的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 无关 分母反映系统本身与外界无关的固有特性 分子反映系统同外界的关系 G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 不同的物理结构可以有相同的传递函数 传递函数是复变量s的有理真分式函数 m n 且所具有复变量函数的所有性质 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定 可有可无 若输入已经给定 则系统的输出完全取决于其传递函数 06 09 第45页 传递函数另一种形式 即零极点增益模型 系统传递函数的极点就是系统微分方程的特征根 系统的瞬态响应 由以下形式的分量构成 在此 p是系统传递函数实数极点 是系统传递函数的复数极点 j 中的实数 假定所有的极点是负数或具有负实部的复数 即p 0 0 系统传递函数所有的极点均在平面左半平面 当t 时 上述分量将趋近于0 瞬态响应是收敛的 系统稳定 当系统输入信号一定时 系统的零 极点决定着系统的动态性能 即零点对系统的稳定性没有影响 但它对瞬态响应曲线的形状有影响 放大系数K决定了系统稳态输出值 传递函数的零点 极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能 06 09 第46页 典型环节的传递函数 06 09 第47页 1 比例环节 输出量不失真 无惯性地跟随输入量 两者成比例关系 其运动方程为 xo t Kxi t 拉氏变换为 Xo s KXi s xo t xi t 分别为环节的输出和输入量 K 比例环节的增益或放大环节的放大系数 等于输出量与输入量之比 比例环节的传递函数为 06 09 第48页 例 求图示一齿轮传动副的传递函数 分别为输入轴及输出轴转速 Z1和Z2为齿轮齿数 当齿轮副无传动间隙 且传动系统刚性无穷大时 为理想状态 其拉换变换 因为 06 09 第49页 2 惯性环节 非周期环节 凡运动方程为一节微分方程 形式的环节称为惯性环节 其传递函数为 式中 K 环节增益 放大系数 T 时间常数 表征环节的惯性 和环节结构参数有关 06 09 第50页 例 此环节与比例环节相比 不能立即复现输出 而需要一定的时间 说此环节具有 惯性 这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C的原因 惯性大小由T来决定 如 弹簧 阻尼器环节 06 09 第51页 3 微分环节 输出量正比于输入量的微分 运动方程为 传递函数为 式中 微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在 而是和其它环节一起出现 06 09 第52页 4 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分 运动方程为 传递函数为 式中 T 积分环节的时间常数 06 09 第53页 5 振荡环节 06 09 第54页 5 振荡环节 T为振荡环节的时间常数 T 1 n n为固有频率 为阻尼比 0 1 对二阶环节作阶跃输入时 输出有两种情况 1 当0 1时 输出为一振荡过程 此时二阶环节即为振荡环节 2 当1 时 输出为一指数上升曲线而不振荡 最后达到常值输出 这时 这个二阶环节不是振荡环节 而是两个一阶惯性环节的组合 可见 振荡环节是二阶环节 但二阶环节不一定是振荡环节 06 09 第55页 6 延迟环节 也称传输滞后环节 06 09 第56页 延迟环节与惯性环节的区别 06 09 第57页 强调三点 1 传递函数框图中的环节是根据运动微分方程划分的 一个环节并不一定代表一个物理的元件 物理的环节或子系统 一个物理的元件也不一定就是一个传递函数环节 即几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节 也许一个物理元件特性分散在几个传递函数环节之中 2 不要把表示系统结构情况的物理框图与分析系统的传递函数的框图混淆起来 3 同一个物理元件在不同系统中的作用不同时 其传递函数也可不同 因为传递函数同所选择的输入 输出物理量的种类有关 并不是不可变的 06 09 第58页 五 方块图及动态系统的构成 1 方框图系统方框图是系统数学模型的图解形式 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递 变换过程 方框图具体而形象地表示了系统内部各环节的数学模型 各变量之间的相互关系以及信号流向 06 09 第59页 信号引出点 线 表示信号引出或测量的位置和传递方向 同一信号线上引出的信号 其性质 大小完全一样 函数方框 环节 方框代表一个环节 箭头代表输入输出 表示输入到输出单向传输间的函数关系 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 直线旁标记信号的时间函数或象函数 求和点 比较点 综合点 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 06 09 第60页 建立方框图的步骤如下 06 09 第61页 用方框图表示系统的优点 06 09 第62页 注意 进行相加减的量 必须具有相同的量纲 06 09 第63页 注意 相邻求和点可以互换 合并 分解 相邻分支点可以互换 求和点可以有多个输入 但输出是唯一的 06 09 第64页 串联连接 并联连接 反馈连接 06 09 第65页 特点 前一环节的输出量就是后一环节的输入量 1 串联连接 结论 串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积 06 09 第66页 特点 各环节的输入信号是相同的 输出C s 为各环节的输出之和 2 并联连接 结论 并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和 06 09 第67页 3 反馈连接 06 09 第68页 方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的 等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的 变换中主要掌握好如下两点 前向通道中各传递函数的乘积不变 回路中传递函数的乘积不变 通过等效变换将方框图变换成具有串联 并联和局部反馈连接的结构图 G1 G2 G1G2 G1 G2 G H G1G2 06 09 第69页 分支点前移 分支点后移 06 09 第70页 06 09 第71页 例1 06 09 第72页 例2 06 09 第73页 06 09 第74页 例3 06 09 第75页 六 信号流图及梅逊公式 节点 表示变量或信号 其值等于所有进入该节点的信号之和 支路 连接两个节点的定向线段 用传递函数表示方程式中两个变量的因果关系 支路相当于乘法器 信号在支路上沿箭头单向传递 输入节点 源节点 只有输出的节点 代表系统的输入变量 输出节点 汇点 只有输入的节点 代表系统的输出变量 混合节点 既有输入又有输出的节点 通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径 前向通道 从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路 回路 起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路 不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路 1 信号流图术语 06 09 第76页 式中T 系统总增益 总传递函数 n 前向通路数tn 第n条前向通路总增益系统特征式 其中 所有不同回路增益乘积之和 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和 所有任意m个不接触回路增益乘积之和 为第n条前向通路特征式的余因子 即在中将与第n条前向通道相接触的回路赋零值后求得的 称为第n条前向通路特征式的余因子 2 梅逊公式 example