第三讲_DPS应用(4、数学模型模拟分析)

第四章数学模型模拟分析 要建立适合各学科特点的定量数学模型 仅用线性回归分析方法是远远不够的 这是因为变量间的关系的形式多样 例如温度与昆虫发育速率的关系呈S形曲线 描述植物病害复利增长过程的逻辑斯蒂曲线 还有诸如施肥量与产量之间 光照度与光合作用效率之间 药剂浓度和害虫死亡率之间的关系等等 都绝非仅仅是线性关系的问题 一种非线性数学模型的选择往往需要结合有关专业知识及学科特点 例如根据所研究物种的生物学性状和生态学规律选用合理的数学模型 使所建经验模型符合一定的生物学规律 又回到生物学研究中帮助人们认识更深层次的生物学问题 由于事物矛盾运动的普遍性和特殊性 非线性回归模型的形式很多 现有的生物统计书一般在介绍非线性回归模型时 只是列举一些虽然经常遇到 但多为两个变量间的简单非线性回归模型 这样的模型实际上仅占生物学研究中有可能被应用的非线性模型的极少部分 DPS系统为用户提供了通用的建立数学模型工具 用户完全可以根据自己的需要自定义模型 自定义模型可以是单因变量的线性回归模型或非线性经验模型 也可是包含多个因变量的联立线性回归模型或非线性模型方程组 这些线性和非线性模型可以是差分模型 也可以是对各个变量进行加权处理后产生的模型 只要用户能够自己定义出模型 就可以在DPS系统支持下进行模型模拟和参数求解 一 非线性回归模型 一元非线性回归模型非线性回归分析模型中最常见的是建立两个变量之间函数关系的一元非线性回归模型 DPS数据处理系统为引导用户快速地掌握非线性回归建模技术 对一元非线性回归模型参数估计过程 提供了非常方便而直观的用户界面 该界面提供了26种常用且较典型的一元非线性回归方程供用户选用 下表 应用这些非线性回归方程建立模型时 系统不需要使用者写入公式即可进行参数估计 但如果你认为这些回归方程式不能完整地表达你所构思的模型 也可以在这些回归方程式的基础上 进行修改 扩充 衍生出适合要求的新的回归方程 一 非线性回归模型 一 非线性回归模型 建模界面的左上部是建模原始数据的x y散点分布图 可以根据数据点的分布状况 结合专业知识 选择合适的模型种类 选定模型后 就可以直接点击右下部 参数估计 按钮 执行参数估计运算 并得到试验数据拟合当前回归方程的计算结果 左上部绘制出数据拟合经验曲线 且叠加显示在原来原始数据的x y散点分布图上面 右下部显示几个主要的拟合指标 即决定系数 R2 回归方程F检验值及其显著水平 一 非线性回归模型 一元非线性回归模型在拟合过程中 可根据数据拟合图中实际观察值和拟合曲线的拟合情况 确定系数R2大小及显著水平高低来选择合适的模型 最后点击 输出结果 按钮 将详细结果输出到电子表格并返回编辑状态 返回的计算结果包括方差分析表 系数ci的协方差阵 系数ci的相关阵 参数拟合值及其标准误差 t测验值和相应的显著水平 最后给出各样本因变量的观察值 拟合值 拟合误差 标准残差 cook距离和杠杆率H 供进一步进行模型诊断使用 如需保存数据拟合结果图 可在图形上双击鼠标 这时会弹出图形保存界面即可将图形保存下来 如需修改回归方程 可以在回归方程编辑框中对回归方程式进行修改 如果拟合效果不好或拟合不成功 可以在参数初始值编辑框中修改有关待估参数的初始值 然后再执行参数估计运算 一 非线性回归模型 一元非线性回归模型实例 先输入数据 行为样本 列为变量 定义数据块时要注意一元非线性回归只允许定义2列数据 第一列为自变量 第二列为因变量 以测定的某种肉鸡在良好生长条件下生长过程数据 建立Logistic生长方程为例 定义数据块 图阴影区 一 非线性回归模型 一元非线性回归模型实例 选择 数学模型 一元非线性回归模型 功能项 系统首先用直线回归方程去拟合出当前数据 得到直线回归方程的拟合结果后 再进入用户操作界面 图 一 非线性回归模型 一元非线性回归模型实例 如果两变量之间是直线关系 原始数据和理论曲线的拟合得很好 确定系数较高 统计检验也达到显著水平 那么就可以当前结果作为最终结果 点击 输出结果 按钮 完成数据分析过程 如果原始数据x y散点分布图显示两者关系为非线性关系 则需要根据数据点的分布 选择适合的非线性模型 如本例数据点的分布表明2个变量不是直线关系 而是呈Logistic曲线形式 因此可选择Logistic曲线来拟合 图 一 非线性回归模型 选择Logistic曲线后 回归方程编辑框中给出回归方程式和参数初始值为 这时 点右下部 参数估计 按钮 系统就根据该回归方程式和系统给出的初值执行参数估计运算 并得到计算结果 图 一 非线性回归模型 可以看出 当为如下理论回归模型时 观察值数据点和拟合曲线高度吻合 确定系数R2较大 可解释因变量变化的99 44 回归方程统计检验达极显著水平 p 0 001 因此 本例应用Logistic曲线来拟合的效果很好 这时可点 输出结果 按钮 将详细结果输出到电子表格并返回编辑状态 如果拟合效果不好 可选用其它的曲线类型 或更改参数的初始值后重新拟合 并从中选择一个较优的模型 一 非线性回归模型 非线性回归分析 1 普通非线性模型例 研究 岱字棉 自播种至齐苗 以80 出苗为准 期的天数 Y 和日平均土温 X 的关系 经试验得到数据后欲建非线性经验模型 莫惠栋984 根据有效积温模型 描述自播种至齐苗期天数和日平均土温相互关系最直观的回归方程的数学表达形式为 Y a X b 一 非线性回归模型 1 编辑和定义数据块 公式块2 选择 数学模型 单因变量参数估计 麦夸特法 3 按回车键即刻进入分析提示界面 在屏幕右边显示当前各参数估计 拟合误差的动态信息 并有文字提示 本例中 用麦夸特迭代模拟方法成功地给出拟合结果 一 非线性回归模型 非线性回归分析 2 含有指数或某些函数的非线性模型这是一个在分析过程中 需要给出各个参数初值才能进行有效拟合的例子 例 根据106个岱字棉单株纤维长度的次数分布的组值 X 和次数 Y 资料 莫惠栋1984 编辑整理 经分析两者间关系呈对称状态 可用指数型非线性方程表示为 一 非线性回归模型 定义公式时 如果不给初值就进行参数拟合分析 那么无论是用麦夸特法还是用加速单纯形法 拟合结果都不收敛 因此必须给出各个参数的初值 显然 本例的对称点在x为29 30处 故参数c3的初值应取30为宜 将参数的初值c1 0 01 c2 0 01 c3 30放在公式块的第2行 并按图阴影处的方式定义公式块之后就可进行分析了 分析时 进入菜单 选择 数学模型 单因变量参数估计 麦夸特法 后 按回车进入分析提示界面 经迭代系统拟合运算可成功地获得拟合结果 一 非线性回归模型 非线性回归分析 3 二值反应变量模型参数估计在试验或抽样调查中 试验数据呈二值 0或1 反应变量的情形颇为常见 如小麦种子发芽试验分为发芽和不发芽 水稻某种病菌侵染表现为发病和不发病 杀虫剂毒力测定试验中表现为试虫的死亡和存活等 病情的轻 重等 这类变量均属离散型二值反应随机变量 对此类资料的统计分析与模拟 直接使用前面所述的回归或非线性回归分析方法显然是不妥当的 因为其误差并不与0或1相对应 对这些数据需用二值反应变量非线性模型来分析模拟 一 非线性回归模型 例 为研究家畜在高电压下对电震的反应 国外有人做了一批实验 实验中共试用7头奶牛 每头奶牛对不同电震强度的6个等级都随机地做实验 其中第1列为电震强度的6个等级 第2列为每一个电震强度在7头奶牛上所做实验次数的总和 第3列为第2列受试奶牛中发生反应的次数 拟合模型时 首先编辑定义数据块和公式块 选择 数学模型 单因变量参数估计 二值变量参数估计 系统就会给出结果 所建立的模型经卡方统计检验 Pearson卡方统计量等于7 583 小于x2 0 05 9 488 表明经验方程的拟合效果很好 二 数学模型模拟与优化 经过精心设计且实施的科学试验 获得试验数据后 再根据不同分析方法 如用回归分析技术 正交回归设计等技术而建立起经验模型 到此步骤并不代表着统计分析工作的结束 这时 需更进一步对模型进行系统的分析 从各个角度解析模型 以期能用所建立的经验模型对若干问题给出合理特别是定量的解释 例如在正交回归试验建立模型之后 就应通过对该模型的分析确定多项农艺措施对其目标函数 一般为产量 的最优农艺措施的组合方案以及各项农艺措施对产量影响的重要程度 又如在肥料对产量影响效应的分析中 需要考查肥料对产量影响的边际效应 等等 二 数学模型模拟与优化 模型模拟分析例 范志杰等人 1990 运用5因素2次正交旋转回归设计方法 研究影响地膜棉花优质高产的密度 播期 追施氮肥量 化控量及其果枝数等农艺措施之间的关系 获得了棉花产量形成的函数模型 式中x1为密度 x2为播期 x3为施用尿素量 x4为施用缩节安的数量 x5为果枝数 并分析了各项农艺措施对产量的交互作用效应 在此我们试根据该模型对播期和施用尿素量的交互作用效应进行研究 其它可仿照 二 数学模型模拟与优化 模型模拟分析 二 数学模型模拟与优化 模型模拟分析 二 数学模型模拟与优化 模型模拟分析 二 数学模型模拟与优化 模型参数灵敏度分析建立数学模型的主要目的之一是增进我们对系统的了解 而模型参数的灵敏度分析是对数学模型的参数动态变化过程 即瞬时变化过程进行分析 因此 通过模型参数的灵敏度分析可以明确哪些参数对系统的总体输出和动态影响较大 例如 研究产量随某种肥料用量变化的规律 求出的肥料反应经验方程为y 3x 2x2 0 1x3 根据该方程进行模型的灵敏度分析 先按下图的方式编辑定义公式 然后选择 模型参数变化速率分析 菜单 执行后系统即输出分析结果 包括灵敏度 导数 偏导数 平均效应及目标函数的计算结果 二 数学模型模拟与优化 分析结果可以作出如下解释 二 数学模型模拟与优化 模型优化所谓数学模型优化 就是寻求在什么条件下 模型的目标函数达到最大 或最小 即求函数的极值问题 生产实践中的所谓优化问题 只要经验模型的目标函数有明显的表达式 一般可用微分法 变分法 最大 最小 值原理等方法求解 叫做间接寻优 如果目标函数表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式 则用数值方法或 试验最优化 等直接方法求解 叫做直接寻优 DPS数据处理平台模型寻优采用的是经改进后的加速单纯形方法 二 数学模型模拟与优化 模型优化例 崔海信 1987 对黄瓜产量 y 与氮肥 x1 磷肥 x2 和钾肥 x3 三种肥料的关系进行了二次通用组合设计的模型试验 根据试验结果有经验模型 y 28735 909 9x1 285 1x2 394 6x3 250 x1x2 259x1x3 188 5x2x3 2079 5x1x1 576 4x2x2 266 4x3x3欲建立肥料效应函数的最优模型 根据约束条件有 1 682 xi 1 682 求最高产量即求上述模型的最大值 在DPS平台上解这个问题只需按下图定义公式块即可 二 数学模型模拟与优化 模型优化从主菜单选择并执行 求最大值 的功能项 就可获得目标函数值 最高产量 为14475 7kg 亩 最佳施肥用量 x1 0 1738 相当纯氮用量为33 11kg 亩 x2 0 1086 相当P2O5的用量为15 98kg 亩 x3 0 6177 相当K2O的用量为17 11kg 亩 三 数学规划 线性规划线性规划问题实质上是在若干线性约束条件下求线性函数的最大或最小值问题 在现有人力 物力或财力条件下 如何恰当地运用有效资源以达到最优分配 合理使用并实现最大效益的目的 就是线性规划需要解决的问题 线性规划及其解法 单纯形法的出现 对运筹学的发展起到了重大的推动作用 许许多多的实际问题都可化成线性规划问题来解 而单纯形法又是一个行之有效的算法 加上计算机的发展 使一些大型复杂的实际问题的解决成为现实 三 数学规划 线性规划线性规划在农业中的应用十分广泛 如农业种植制度 农牧业发展规划等 特别是近年来发达国家在饲料工业和养殖业中生产的配合饲料 70 以上都是采用线性规划方法 应用计算机优化饲料配方 我国在这方面的应用成效也非常显著 取得了很好的经济效益 裴新德等 1988 应用线性规划方法 对饲料配方优化问题进行了研究 根据饲料原料中的营养成分与价格来优化饲料配方 下表所示为购入的饲料成分及各种以预混料形式加入的微量营养成分的价格 元 kg 三 数学规划 三 数学规划 线性规划根据营养与原料的约束 首先 建立约束方程 具体营养条件约束如下 产蛋鸡代谢能 2 65Mcal kg 1cal 4 184J 即 3 35x1 1 25x2 1 8x3 2 4x4 2 85x5 2 2x6 1 8x7 2 4x8 3 3x9 3 3x10 2 65 粗蛋白 15 1 8 9x1 11 8x2 11 5x3 41x4 64x5 35x6 33x7 38x8 99x9 78x10 15 1 蛋氨酸加胱氨酸 0 6 0 3x1 0 4x2 0 23x3 1 2x4 2 4x5 0 97x6 0 97x7 0 92x8 99x9 0 6 赖氨酸 0 68 0 22x1 0 48x2 0 43x3 2 62x4 4 85x5 1 36x6 1 52x7 1 31x8 78x10 0 68 三 数学规划 线性规划钙含量 3 3 0 01x1 0 14x2 0 1x3 0 2x4 4x5 0 17x6 0 17x7 0 15x8 22x11 24x12 38x13 3 3 有效磷含量 0 3 0 08x1 0 35x2 0 51x3 0 2x4 2 85x5 0 29x6 0 33x7 0 17x8 11x11 18x12 0 3 其次考虑原料的约束条件 即 鱼粉含量大于等于0 025 即x5 0 02 棉籽饼含量小于等于0 1 即x6 0 1 菜籽饼含量小于等于0 05 即x7 0 05 食盐含量等于0 003 即x14 0 003 预混料含量等于0 01 即x15 0 01 各个原料之和为1 百分比例 即 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 1 三 数学规划 线性规划目标函数是在满足营养条件下使成本最低 即 min 0 3x1 0 25x2 0 24x3 0 61x4 1 7x5 0 5x6 0 45x7 0 52x8 12x9 14x10 0 36x11 0 69x12 0 05x13 0 2x14 2x15根据以上约束条件和目标函数 在DPS处理平台上 按下图格式编辑定义线性规划的公式块 然后在菜单方式下执行 线性规划单纯形 求解项 随后系统很快输出结果 三 数学规划 线性规划优化结果为 玉米比例 0 5983麦麸 0 0米糠 0 0860豆饼 0 1132鱼粉 0 02棉籽饼 0 0308菜籽饼 0 05花生饼 0 0工业蛋氨酸 0 0014工业赖氨酸 0 0 骨粉 0 0094磷酸氢钙 0 0石粉 0 07796食盐 0 003预混料 0 01经优化配合饲料最低成本价格为0 3857元 kg 三 数学规划 非线性规划非线性规划是线性规划的进一步发展和继续 许多实际问题如设计问题 经济平衡问题都属于非线性规划范畴 在DPS数据处理平台上 建立非线性规划模型的要点 第一行写入非线性回归方程 从第二行开始写入约束条件 约束条件等式或不等式的右边必须是零 等式 不等式只能用大于 等于或小于 三个符号中的一个 最后一行必须是模型中各个参数的初始值 三 数学规划 非线性规划例 经过试验 建立了玉米产量与氮x1 磷x2和钾x3关系的肥料效应函数 y 532 015 25 733x1 31 118x2 16 322x3 0 682x1x1 1 071x2x2 0 565x3x3 0 0905x1x2 0 148x1x3 0 0388x2x3现计划种植玉米300亩 计划肥料投资4000元 氮肥价格为0 5元 500g 磷肥价格为0 4元 500g 钾肥价格为0 32元 500g 现需计算各个养分的用量及如何选择最佳配比 根据题意 其施肥的约束条件是以肥料成本投入为约束条件 即 0 5x1 0 4x2 0 32x3 300 4000 0 此外各种肥料取值应大于 等于零 用非线性规划求解 其公式编辑定义如下图 三 数学规划 非线性规划根据以上约束条件和目标函数 在DPS数据处理平台上 按上图格式编辑定义非线性规划的公式块 然后在菜单方式下执行非线性规划功能 系统很快输出结果 目标函数 产量 1067 27斤 亩 施肥方案 氮肥用量11 70斤 亩 磷肥10 34斤 亩 钾肥10 45斤 亩 三 数学规划 投入产出分析投入产出分析是国民经济计划中常用的一种综合平衡方法 其用途较为广泛 所谓投入产出分析 是指利用投入产出分析表构成一种经济学模型 对国民经济各个部门之间生产和消费的相互依赖关系进行定量研究和分析 以求得最优平衡和协调 实现真正的有计划按比例 投入产出分析的基础是投入产出分析表 它模拟一个地区和一个国家生产部门之间 生产部门和最终需求之间的相互关系 表中各部门的相互关系通常用货币价值来表示 称为价值表 也有用物理量来表示的 称为实物表 三 数学规划 投入产出分析数据编辑格式如下图阴影部分 其中a b表示该列是属于哪一部类 a表示第一部类 b表示第二部类 最后一列是规划产值 如不作规划预测 可将该列改为最终产品小计 个人消费 社团消费 非生产性积累 生产性积累 图中所示例子 单位 亿元 最后一列是预测 规划的产值 即不等于个人消费 社团消费 非生产性积累 生产性积累这几列之和 三 数学规划 投入产出分析执行投入产出分析得到结果如右 分析结果中 由列昂惕夫逆阵可知 当农业最终使用增加1亿元时 农业总产值将增加1 1151亿元 轻工业增加0 0502亿元 重工业增加0 4359亿元 列昂惕夫系数矩阵其它数值的经济涵义类推 通过列昂惕夫逆阵 还