3.4 函数的单调性与凹凸性判别ppt课件

1 函数单调性的判别法 单调区间求法 小结思考题作业 3 4函数的单调性与曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 第三章微分中值定理与导数的应用 2 f x 0 f x 0 观察结果 函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系 一 函数单调性的判定法 3 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 此定理不论对于开 闭 有限或无穷区间都正确 4 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 由拉格朗日中值公式 有f x2 f x1 f x x2 x1 x10 x2 x1 0 所以f x2 f x1 f x x2 x1 0 即f x1 f x2 这就证明了函数f x 在 a b 上单调增加 证明只证 1 在 a b 上任取两点x1 x2 x1 x2 Lagrange定理 5 解因为在 0 2p 内y 1 cosx 0 所以函数y x sinx在 0 2p 上的单调增加 例判定函数y x sinx在 0 2p 上的单调性 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 6 因为在 0 内y 0 所以函数y ex x 1在 0 上单调增加 解函数y ex x 1的定义域为 y ex 1 例讨论函数y ex x 1的单调性 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 7 解函数的定义域为 所以函数在 0 上单调增加 因为x 0时 y 0 所以函数在 0 上单调减少 因为x 0时 y 0 例 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 8 说明 一般地 如果f x 在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正 或负 时 那么f x 在该区间上仍旧是单调增加 或减少 的 例讨论函数y x3的单调性 解函数的定义域为 y 3x2 显然当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 因此函数y x3在区间 0 及 0 上都是单调增加的 从而函数在整个定义域 内是单调增加的 9 例 分界点处导数不存在 10 方法 问题 如上例 函数在定义区间上不是单调的 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 然后判定区间内导数 的符号 的临界点 二 单调区间求法 但在各个部分区间上单调 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间 11 1 确定函数的定义域 2 求出导数f x 3 求出f x 全部零点和不可导点 4 判断或列表判断 5 综合结论 确定函数单调区间的步骤 12 例确定函数f x 2x3 9x2 12x 3的单调区间 解这个函数的定义域为 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 导数为零的点为x1 1 x2 2 列表分析 函数f x 在区间 1 和 2 上单调增加 在区间 1 2 上单调减少 1 1 2 2 y 2x3 9x2 12x 3 13 解这个函数的定义域为 函数f x 在区间 0 和 1 上单调减少 在区间 0 1 上单调增加 0 0 1 1 例确定函数的单调区间 驻点x 1 不可导点x 0 14 例 解 单调区间为 定义域 15 导函数只在区间内可数个点处导数值为零 而其余点处导数值均为正 或负 如 不影响区间的单调性 单调增加 又如 内可导 且 等号只在 处成立 故 内单调增加 16 例 证 17 单调增加 证明 例证明 当时 于是 即 因此 18 因为当x 1时 f x 0 所以f x 在 1 上f x 单调增加 例 证明 因此当x 1时 f x f 1 0 即 19 例 证 定不出符号 20 21 concaveandconvex 三 曲线凹凸性的判别法 1 定义 如何研究曲线的弯曲方向 22 问题 如何研究曲线的弯曲方向 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 23 定义1 恒有 凹 凸 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 24 曲线弧上每一点的切线 定义2 上 方 称为凹弧 凸 凹弧的曲线段 的切线斜率是单增的 是单增的 凸弧的切线斜率是单减的 是单减的 而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上 随着x的增大 都在曲线的下 25 定理2 二阶导数 凹 凸 2 凹凸性的判别法 26 证 即 这说明切线位于曲线的下方 Taylor公式 即f x 是凹的 27 观察与思考 f x 的图形的凹凸性与f x 的单调性的关系 1 f x 的图形是凹的 2 f x 的图形是凸的 f x 单调增加 f x 单调减少 定理2 曲线凹凸性的判定法 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凹的 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凸的 28 例判断曲线y x3的凹凸性 解y 3x2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x0时 y 0 所以曲线在 0 上是凹的 定理2 曲线凹凸性的判定法 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凹的 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凸的 29 例 解 凸 变 凹 的分界点 30 1 定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点 几何上 四 曲线的拐点及其求法 inflectionpoint 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 拐点 31 拐点的第一充分条件 2 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处 拐点的必要条件 具有二阶导数 则点 1 2 是拐点的必要条件为 或x0为二阶导数不存在的点 32 例 解 拐点 拐点 不存在 定义域为 1 2 3 列表 33 例 解 拐点的第二充分条件 34 例 解 35 讨论曲线y x4是否有拐点 例 解 二阶导数无零点 当x 0时 二阶导数不存在 因为当x0 当x 0时 y 0 所以点 0 0 是曲线的拐点 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 虽然y 0 0 但 0 0 不是拐点 36 例求曲线y 3x4 4x3 1的拐点及凹 凸的区间 解 1 函数y 3x4 4x3 1的定义域为 4 列表判断 在区间 0 和 2 3 上曲线是凹的 在区间 0 2 3 上曲线是凸的 点 0 1 和 2 3 11 27 是曲线的拐点 0 0 1 11 27 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 37 例求曲线y 3x4 4x3 1的拐点及凹 凸的区间 在区间 0 和 2 3 上曲线是凹的 在区间 0 2 3 上曲线是凸的 点 0 1 和 2 3 11 27 是曲线的拐点 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 38 证 法一 用单调性证 法二 用凹凸性证 例 设 则 即 39 五 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 单调性的应用 改变弯曲方向的点 凹凸性 拐点 利用函数的单调性可以确定某些方程实根 的个数和证明不等式 研究曲线的弯曲方向 凹凸性的应用 利用凹凸性证明不等式 40 证 只要证 令 则 所以 即 有 得 思考题 41 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 提示 利用 单调增加