微分的概念教案 首页

微分及其运算微分及其运算 教案教案 首页 课课 次次课课 型型理 论 课 章章 节节 2 2 2 2 微分及其运算微分及其运算 教教 学学 目目 的的 1 掌握微分的概念和微分的运算 2 理解微分的几何意义 教教学学 重重 点点 求解函数的微分 教教学学 难难 点点 理解微分的概念 教教学学 方方 法法 课堂讲授 教教 具具 挂挂 图图 PPT 授授 课课 班班 级级 授授 课课 日日 期期 相相 关关 素素 材材 华师大 数学分析 刘传宝主编 高等数学 教教 学学 后后 记记 1 作为微积分的首要知识 微分是重中之重 但是由于它与导数密切相 关 所以它学习的难易程度很大取决于对导数的掌握程度 2 微分概念理解和推导过程较繁琐 从课堂情况来看 学生对于定义理 解也较为吃力 这就需要与导数概念多作比较说明 3 微分本身定义较难理解 但是微分计算简单 只是在求导基础上稍微 变形 但是由于大家对微分定义不熟 所以导致对它的计算畏惧心理较 强 4 本节整体思维与第一节相似 所以应在比较类别的基础上教学 才能 起到举一反三的效果 2 微分及其运算微分及其运算 教案教案 续页 教 学 过 程 一 新课导入 一 新课导入 5 5分钟 分钟 4 24 tan46tan45 已知 0000 yf x x xxx yf xf xx 在时 1x y 二 新课讲授二 新课讲授 函数的导数表示函数在点处的变化率 它所描述的是函数 yf x x 在点处变化的快慢程度 在工程技术中 有时还需要了解当自变量取一 yf x x 个微小的增量时 函数取得相应增量的大小 一般说来 计算函数增量的精确值较 繁 有时是相当困难的 所以 往往需要找出简便的计算方法计算它的近似值 为 此 我们引出微分学中的另一个重要概念 微分 1 微分的概念 微分的概念 40分钟 分钟 先看一个具体问题 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 其边长由变到 0 x 如图2 5所示 问此金属薄片的面积改变了多少 0 xx 图2 5 设薄片的边长为 面积为 则 薄片受温度变化的影响 面积的改xS 2 Sx 变量可以看成是当自变量在有增量时 函数相应的增量 即x 0 xx SS 222 000 2 Sxxxxxx 可以看出 由两部分组成 第一部分 图中阴影部分两个矩形面积之S 0 2xx 和 是的线性函数 且 第二部分 图中右上角处的小正方形 当x 00 2xSx 时 是的高阶无穷小 由此可见 如果边长改变很微小 即很小时 0 x x x 面积的改变量可以近似地用第一部分代替 且越小 近似程度越好 这无疑S x 3 给近似计算提供了极大的方便 微分及其运算微分及其运算 教案教案 续页 4 教 学 过 程 撇开这个例子的实际意义 对于一般可导函数而言 我们可以联想到 yf x 两个问题 1 与自变量的增量相对应的函数增量 是否x 00 yf xxf x 也可表示为的线性函数 其中不依赖于 与的高阶无穷小两部分之和 x A x Ax x 2 其中线性函数部分的系数 是否恰好是函数在该点的导数 x A yf x 0 fx 设函数在点处可导 即 yf x 0 x 0 0 lim x y fx x 存在 显然可得 0 0 lim0 x y fx x 由无穷小的概念 即得 其中 0 y fx x 0 lim0 x 于是有 0 yfxxx 从上式可看出 我们的联想是正确的 同时我们还能证明 如果函数 当自变量在有增量时 相应的函数增量可表示为 且 yf x 0 xx yA xx 的系数一定就是 由此 我们引出下面的概念 x A 0 fx 定义定义1 1 如果函数在点处可导 则称为函数在点处的微 yf x 0 x 0 fxx yf x 0 x 分 记作 即 0 x x dy 0 0 x x dyfxx 此时我们称函数在点处可微 yf x 0 x 以上的分析及定义说明 函数在点处可导与它在该点可微是等价的 yf x 0 x 特别地 当时 yx dydxxxx 因此我们可以得到自变量的微分等于自变量增量 由此函数在点dxx yf x 5 处的微分又记作 0 x 微分及其运算微分及其运算 教案教案 续页 6 教 学 过 程 0 0 x x dyfxdx 如果函数在某区间内每一点都可微 则称函数在该区间内可微 yf x f x 并称函数为该区间内的可微函数 函数在区间内的任一点处的微分记为 f xx dyfx dx 上式又可写成 dy fx dx 即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商 所以导数又称微商 dydx 例1 求函数当由1变到1 0l时的微分 2 yx x 解 函数的微分为 由条件知 2 2dyxxx x 1 1 01 10 01xx 所以 0 02dy 例2 半径为r的球 其体积为 当半径增大时 求体积的增量及微分 3 4 3 vr r 解 体积的增量 3 3 23 2 44 33 4 44 3 Vrrr rrrrr 体积的微分为 2 4dVrr 2 2 微分运算 微分运算 2525分钟 分钟 由可知 求微分只要计算出函数的导数 再乘以自变量的 dyfx dx dy fx 微分即可 dx 例3 求函数的微分 sinyx 解 1 sincos 2 dyxdxxdx x 例4 求函数的微分 2 cosyxx 解 22 cos2 cossindyxxdxxxxx dx 课堂练习 求函数在处的微分 并求在时的微分 记作 2lnyx x1x 1x dy 3 微分的几何意义 微分的几何意义 10分钟 分钟 7 设函数的图像如图2 6所示 过曲线上点作曲线的切线MT 切 yf x 0 0 M x y 线的倾斜角为 则 由图可知 当有微小增量时 相应地切 0 tanfx 0 xx 线的纵坐标也有增量QP 微分及其运算微分及其运算 教案教案 续页 8 教 学 过 程 因此 函数在点处的微分就是曲线上点处切线MT yf x 0 x yf x 0 0 M x y 的纵坐标的增量 图2 6 对图形的观察分析 我们还发现 1 当很小时 也很小 即可用函数的微分来近似替代函数的增x ydy