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导数各类题型方法总结+导数题型最新归纳总结 第一章导数及其应用一，导数的概念1.已知xf x fxx fx?)2()2(lim,1)(0则的值是（）A.41?B.2C.41D.2式变式1?为则设hf hffh233lim,430?（）A2C3D1式变式2?00003,limxf x x f x xf x xx?设在可导则等于（）A?02xf?B?0xf?C?03xf?D?04xf?导数各种题型方法总结请同学们高度重视首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法 （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒。 成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础础 一、基础题型函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决第一步令0)(?x f得到两个根；第二步画两图或列表；第三步由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种第一种分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,k,xI.此题常见的错误解法由f(x)maxng(x)min解出k k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （22）根据题意可知，（22于）中的问题等价于h(x)=g(x)f(x)00在在xx-3,3时有解,故h(x)max0.由 （11）可知h(x)max=k+7，因此此k+700，即k k7,+). (3)根据题意可知， （33）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，xx-3,3.由二次函数的图像和性质可得,x-3,3时,f(x)max=120k.仿照 （11），利用导数的方法可求得xx-3,3时,g(x)min=21.由由120k k121得得k k141,即即kk141,+).说明这里的2x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?xx”恒成立，还是“?xx”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜. 二、相关类型题一、()a f x?型；形如(),()a f xa f x?型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“()a f x?在x D?上恒成立，则max()();a f xxD?()af x?在在xD上恒成立，则min()();af xxD?”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例例1已知二次函数2()f x ax x?，若?0,1x?时，恒有|()|1f x?数，求实数a的取值范围.解|()|1f x?，211ax x?；即211x axx?；当0x?时，不等式显然成立，aR.当01x?时，由211x axx?得221111axxxx?，而min211()0xx?.0a?.又max211()2xx?，2,20aa?，得综上得a的范围是2,0a?。 二、12()()()f xf xf x?型型例例2已知函数()2sin()25xf x?，若对?x R?，都有12()()()f xf xf x?成立，则12|xx?的最小值为_.解解意对任意xR，不等式12()()()f xf xf x?恒成立，12(),()f xf x分别是()f x的最小值和最大值.对于函数sin yx?，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周期.又函数()2sin()25xf x?为的周期为4，12|xx?为的最小值为2.三、.1212()()()22xxf xf xf?型型例例3(xx湖北)在在222,log2,cos yx yx yx yx?这四个函数中，当1201xx?时，使1212()()()22xxf xf xf?恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件1212()()()22xxf xf xf?的函数，应是凸函数的性质，画草图即知2log2yx?符合题意；四、.1212()()0f xf xx x?型型例例4已知函数()f x定义域为1,1?， (1)1f?，若,1,1m n?，0m n?时，都有()()0f mf nm n?，若2()21f xt at?对所有1,1x?，1,1a?恒成立，求实数t取值范围.解解任取1211xx?，则12121212()()()()()f xf xf xf xx xxx?，由已知1212()()0f xf xxx?，又120xx?，12()()0f xf x?f，即()f x在1,1?上为增函数. (1)1f?，1,1x?，恒有()1f x?；要使2()21f xt at?对所有1,1x?，1,1a?恒成立，即要2211t at?，恒成立，故220t at?恒成立，令2()2gaat t?，只须 (1)0g?且 (1)0g?，解得2t?或0t?或2t?。 评注形如不等式1212()()0f xf xxx?或1212()()0f xf xxx?恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五、.()()f xg x?型例例5已知1()lg (1)2f xx?，()lg (2)g xxt?，若当0,1x?时，()()f xg x?)恒成立，数求实数t的取值范围.解解()()f xg x?在0,1x?恒成立，即120xxt?在0,1x?恒成立12xxt?在0,1上的最大值小于或等于零.令()12F xxxt?，141()21xF xx?，0,1x?()0F x?，即()F x在在0,1上单调递减，F (0)是最大值.() (0)10f xF t?，即1t?。 六、12()()f xg x?型型例例6已知函数32149()3,()332x cf xxxxg x?，若对任意12,2,2xx?，都有12()()f xg x?，求c的范围.解因为对任意的12,2,2xx?，都有12()()f xg x?成立，max min()()f xg x?，2()23f xxx?，令()0f x?得3,1xx?x3或或x-1；()0f x?得13x?；()f x在2,1?为增函数，在1,2?为减函数. (1)3, (2)6f f?，max()3,f x?.1832c?，24c?。 七、12|()()|f xf xt?（t为常数）型；例例7已知函数43()2f xxx?，则对任意121,22tt?（12tt?）都有12|()()|_f xf x?恒成立，当且仅当1t=_，2t=_时取等号.解因为12max min|()()|()()|f xf xf xf x?恒成立，由431()2,22f xxxx?，易求得max327()()216f xf?，min15()()216f xf?，12|()()|2f xf x?。 例例8已知函数()y f x?满足 (1)定义域为1,1?； (2)方程()0f x?至少有两个实根1?和1； (3)过过()f x于图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1. (1)证明| (0)|1f?|； (2)证明对任意12,1,1xx?，都有12|()()|1f xf x?.证明 (1)略； (2)由条件 (2)知知 (1) (1)0f f?，不妨设1211xx?，由 (3)知知121221|()()|f xf xxxxx?，又121212|()()|()|()|() (1)|() (1)|f xf xf xf xf xff xf?122112112()2|()()|xxxxf xf x?；12|()()|1f xf x?八、1212|()()|f xf xxx?型型例9已知函数3()f xxaxb?，对于12123,(0,)()3xxxx?总时总有1212|()()|f xf xxx?成立，求实数a的范围.解解由由3()f xxaxb?，得2()3f xxa?，当3(0,)3x?时，()1af xa?，1212|()()|f xf xxx?，1212()()|1f xf xxx?，11011aaa?评注由导数的几何意义知道，函数()y f x?图像上任意两点1122(,),(,)P x y Qxy连线的斜率211221()y ykxxxx?的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如1212|()()|f xf xm xx?|或或1212|()()|f xf xm xx?(m0)型的不等式恒成立问题.考前寄语先易后难,先熟后生；一慢一快审题要慢,做题要快；不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；我易人易我不大意,我难人难我不畏难；考试不怕题不会,就怕会题做不对；基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；对数学解题有困难的考生的建议立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.导数题型归纳总结-学大教育西稍门高中数学组一导数的定义和几何意义函数)(xf在x0处的导数)(0xf?=0lim?xxy?=0lim?xxx f xxf?)()(00函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即?k)(0xf?求切线方程先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上注若过曲线外一点11(,)xy向曲线作切线，要先设切点00(,()xf x，用10010()k=f(x)y f xxx? 1、若曲线2yxaxb?在点(0,)b处的切线方程是10xy?，则a?b? 2、已知232xxy?，则过原点)0,0(的切线方程是 3、已知3()3f xxx?，过点(1,) (2)A mm?可作()y f x?的三条切线，则m的范围是4求过曲线32yxx?上的点 (11)?，的切线方程注过曲线上一点的切线，该点未必是切点 5、已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，?2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)?4(D)?8二二导数单调性题型一讨论()0f x?是否有根型 （1）若导数是二次函数，需判断判别式? （2）若导数是一次函数y kxb?，需判断k的正负1已知函数xaxxf ln)(2?(Ra?)（）若2?a，求证)(xf在(1,)?上是增函数； （2）求()f x的单调区间；2.已知函数2()(2ln), (0)f xxaxax?，求()f x的单调性.3.已知函数() (1)e (0)xaf xxx?，其中e为自然对数的底数.（）当2a?时，求曲线()y f x?在(1, (1)f处的切线与坐标轴围成的面积；（II）求函数()f x的单调区间4已知m?R，函数f（x）1lnmmx xx?，xxg ln21)(?若yf(x)一g(x)在1，?）上为单调增函数，求实数m的取值范围.u.c.题型二比较两根大小讨论型 1、设函数R babaxxaxx f?、其中,4)1 (3)(23（）若函数)(xf在3?x处取得极小值是21，求ba、的值;（）求函数)(xf的单调递增区间;2.已知函数22() (23)(),xf xxaxaae x R?其中a R? (1)当0a?时，求曲线()(1, (1)y f xf?在点处的切线的斜率； (2)求函数()fx的单调区间与极值。 题型三若已知函数在某区间的单调性，求参数的取值范围1设函数() (0)kxf x xe k?（）求函数()fx的单调区间；（）若函数()fx在区间(1,1)?内单调递增，求k的取值范围2.已知函数321().3fxxaxbx?(,)ab?R（II）若2ba?，且()fx在区间(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围3已知m?R，函数f（x）1lnmmx xx?，xxg ln21)(?若yf(x)一g(x)在1，?）上为单调增函数，求实数m的取值范围.u.c.4已知函数2()ln fxxxax?（）若函数()fx在其定义域上为增函数，求a的取值范围；5已知函数32() (1) (2)fxxaxaaxb?(,)ab?R（II）若函数()fx在区间(1,1)?上不单调，求a的取值范围6已知函数322(),().3fxxaxxcaf?且（I）求a的值；（II）求()fx的单调区间；（III）设函数3()()xg xfxx e?，若函数()g x在3，2上单调递增，求实数c的取值范围.题型四恒成立问题即已知恒成立，求参数的取值范围解题思路可以转化为求函数的最大或最小值1.设函数321() (1)4243fxxaxaxa?，其中常数a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围2.（本小题共13分）已知函数()ln fxxax?，1(),(R).ag xax?（）设函数()()()h xfxgx?，求函数()h x的单调区间；()若在?1,e上存在一点0x，使得0()fx?0()gx成立，求a的取值范围3已知函数2()ln20)fx axax?(.（）若对于(0,)x?都有()2 (1)fx a?成立，试求a的取值范围；4已知函数2()ln,().xxf xxxg xee?（II）证明对任意,(0,),()()mnfmg n?都有成立.三导数的极值和最值问题左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧)(xf?的符号相反；)(xf?=0的点不一定是极值点，但极值点一定满足)(xf?=0；求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数，令)(xf?=0，找出所有的驻点；检查驻点左右的符号，左正右负有极大值，左负右正有极小值；函数)(xf在?ba,上连续，则)(xf在极值点或端点处取得最值 1、设函数322()fxxaxaxm? (0)a?（I）若1a?时函数()fx有三个互不相同的零点，求m的范围；（II）若函数()fx在?1,1?内没有极值点，求a的范围；（III）若对任意的?3,6a?，不等式()1fx?在?2,2x?上恒成立，求实数m的取值范围. 2、设函数bxa axxxf?2233231)(，),10(R ba?若当?2,1?aax时，恒有axf?)(，试确定a的取值范围 3、已知函数32() (1) (2)fxxaxaaxb?(,)ab?R（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3?，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)?上不单调，求a的取值范围 4、已知函数()fx=3231()2axxxR?，其中0a?.若在区间11,22?