1.4_生活中的优化问题举例

3 4生活中的优化问题举例 高二数学选修1 1第三章导数及其应用 知识回顾 一 如何判断函数函数的单调性 f x 为增函数 f x 为减函数 二 如何求函数的极值与最值 2 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 1 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 生活中的优化问题 例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图3 4 1所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 图3 4 1 因此 x 16是函数S x 的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 解法二 由解法 一 得 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品 若它们的价格如下表所示 则 1 对消费者而言 选择哪一种更合算呢 2 对制造商而言 哪一种的利润更大 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 减函数 增函数 1 07p 每瓶饮料的利润 背景知识 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为 cm时 利润最小 这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 半径为 cm时 利润最大 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 问题3 磁盘的最大存储量问题 1 你知道计算机是如何存储 检索信息的吗 2 你知道磁盘的结构吗 3 如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息 例3 现有一张半径为R的磁盘 它的存储区是半径介于r与R的环行区域 是不是r越小 磁盘的存储量越大 2 r为多少时 磁盘具有最大存储量 最外面的磁道不存储任何信息 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间 由于磁道之间的宽度必须大于m 且最外面的磁道不存储人何信息 所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同 为获得最大的存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道上的比特数可达到所以 磁道总存储量 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式上可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求的最大值 计算 令 解得 因此 当时 磁道具有最大的存储量 最大存储量为 由上述例子 我们不难发现 解决优化问题的基本思路是 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 课堂小结 建立数学模型 解决数学模型 作答 P104习题3 4A组NO 1 2 作业 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积V x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 练习1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积V x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且V 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积16000cm3 练习 练习2 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 R h 解设圆柱的高为h 底面半径为R 则表面积为S R 2 Rh 2 R2 又V R2h 定值 即h 2R 可以判断S R 只有一个极值点 且是最小值点 答罐高与底的直径相等时 所用材料最省 解 设B x 0 0 x 2 则A x 4x x2 从而 AB 4x x2 BC 2 2 x 故矩形ABCD的面积为 S x AB BC 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点B为时 矩形的最大面积是 1答案 解 设DA xkm 那么DB 100 x km CD km 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为 令 在的范围内有唯一解x 15 所以 当x 15 km 即D点选在距A点15千米时 总运费最省 注 可以进一步讨论 当AB的距离大于15千米时 要找的最优点总在距A点15千米的D点处 当AB之间的距离不超过15千米时 所选D点与B点重合 解 设DA xkm 那么DB 100 x km CD km 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为 已知 某商品生产成本 与产量q的函数关系式为 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值时 利润L最大 课本第37页B组第1题 某宾馆有 个房间供游客居住 当每个房间每天的定价为 元时 房间会全部住满 房间的单价每增加 元 就会有一个房间空闲 如果游客居住房间 宾馆每天每间需花费 元的各种维修费 房