2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题

20072007 届东莞市高三理科数学五月高考模拟题届东莞市高三理科数学五月高考模拟题 考生注意 考生注意 满分 150 分 时间 120 分钟 不准使用计算器 一 选择题一 选择题 每小题 5 分 共 40 分 每小题各有四个选择支 仅有一个选择支正确 请把正确选择支 号填在答题表内 1 满足条件 2 1 M 3 2 1的所有集合M的个数是 A 1B 2C 3D 4 2 复数 i 21 5 的共轭复数是 Ai 3 10 3 5 Bi 3 10 3 5 Ci 21 Di 21 3 若条件41 xp 条件65 2 xxq 则p 是q 的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4 工人制造零件的尺寸在正常情况下服从正态分布 2 N 在一次正常的试验 中 取 1000 个零件 不属于 3 3 这个尺寸范围的零件个数可能为 A 7 个B 10 个C 3 个D 6 个 5 阅读右图所示的流程图 输出的结果为 A 24B 12C 6D 4 6 已知直线nm 平面 给出下列命题 若 则 mm 若 则mm 若 则 mm 若异面直线nm 互相垂直 则存在过m的平面与n垂直 其中正确的命题是 A B C D 7 设椭圆1 2 2 2 2 n y m x 双曲线1 2 2 2 2 n y m x 抛物线 0 2 2 nmxnmy其中的离心率分 别为 1 e 2 e 3 e 则 A 321 eee B 321 eee C 321 eee D 21e e与 3 e的大小关系不能确定 8 正方体的直观图如右下图所示 则其展开图是 二 填空题二 填空题 请按要求答题 每小题 5 分 共 分 请把答案填在题中的横线上 题号12345678910 答案 9 10 10 2 210 52 1 xaxaxaaxx 则 2 x的系数 2 a的值为 10 表示右图中阴影部分的二元一次不等式组为 11 曲线 y x3在点 a a3 a 0 处的切线与 x 轴 直线 x a 所围成的三角形的 面积为 6 1 则 a 12 当 210 aaa成等差数列时 有 3210210 02aaaaaaa当 成等差 数列时 有 432103210 033aaaaaaaaa当 成等差数列时 有 0464 43210 aaaaa 由此归纳 当 n aaaa 210 成等差数列时有 n n n n nnn acacacac 1 2 2 1 1 0 0 0 如果 n aaaa 210 成等比数列 类比上述方法归纳 出的等式为 考生可从下面第考生可从下面第 1414 1515 两道题中任选一道做答 若两道题全做答 则只按前一题计算得分 两道题中任选一道做答 若两道题全做答 则只按前一题计算得分 13 从不在圆上的一点 A 做直线交 O 于 B C 两点 且 AB AC 60 OA 8 则 O 的半径等 于 14 点 P 3 0 到直线 12ty tx 其中参数 t 是任意实数 上的点的距离的最小值是 15 已知 222 632zyxzyx 则 的最小值是 三 解答题三 解答题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知 5 3 sin 2 且a I 求 4 cos 的值 II 求 4 tan 2 sin 2 的值 17 本小题满分 13 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 侧面 PAD 垂直底面 ABCD 且 PAD 为正三角形 E 为侧棱 PD 的中点 I 求证 AE 平面 PCD II 求平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角的大小 III 求直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值 18 本小题满分 13 分 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球 今从袋子里随机取出 4 个球 I 求取出的红球数 的概率分布列和数学期望 II 若取出一个红球得 2 分 取出一个黑球得 1 分 求总得分不超过 5 分的概率 19 本小题满分 14 分 设正项等比数列 n a的首项 1 a 2 1 前n项和为 n S 且0 12 2 1020 10 30 10 SSS I 求 n a的通项公式 II 求数列 n nS的前n项和 n T 20 本小题满分 14 分 过椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB 若x轴 上的定点 M 总能使得 MF 为AMB 的一条内角平分线 则称点 M 为该椭圆的 左特征点 求椭圆1 5 2 2 y x 的 左特征点 M 的坐标 试根据 中的结论猜测 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 左特征点 M 是一个怎样的点 并证明你的结论 21 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln 44 xx f x x I 求 f x的极值 II 求证 f x的图象是中心对称图形 III 设 f x的定义域为D 是否存在 a bD 当 xa b 时 f x的取值范围是 4 4 a b 若存在 求实数a b的值 若不存在 说明理由 参考答案参考答案 一 选择题 DDBCCDBD 二 填空题 9 5 10 022 1 0 yx y x 11 1 12 1 1 210 210 n n n mnn C n CcC aaaa 13 2 或31214 515 7 18 三 解答题 16 1 10 2 2 70 73 17 证明 I 在正PAD 中 E是PD的中点 所以PDAE 又ABCDPAD面面 ADABCDPAD 面面 ADCD 所以PADCD面 而PADAE面 所以AECD 所以由DCDPD 有PDCAE面 II 取正PAD 的底边AD的中点O 连接PO 则ADPO 又ABCDPAD面面 所以ABCDPO面 如图 以点O为坐标原点 DA为x轴 OP为z轴 x z y 建立空间直角坐标系 设aAD2 则有 00 aA 300 aP 02 aaB 0 0 aD 2 3 0 2 aa E 3 0 aaAP 0 2 0 aAB 再设 zyxn 是面PAB的法向量 则有 0 0 ABn APn 即 02 03 ay azax 可设 1 0 3 n 又 2 3 0 2 3 aaAE 是面PDC的法向量 因此 2 1 cos nAE nAE nAE 所以 120 nAE 即平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角为 60 由 II 知 3 2 aaaPB 设PB与面PDC所成角为 则 4 6 sin AEPB AEPB 所以PB与面PDC所成角的正弦值为 4 6 18 解 I 35 1 0 4 7 4 4 C C P 35 12 1 4 7 1 3 3 4 C CC P 35 18 2 4 7 2 3 2 4 C CC P 35 4 3 4 7 3 3 1 4 C CC P 的分布列为 0123 P 35 1 35 12 35 18 35 4 7 12 35 4 3 35 18 2 35 12 1 35 1 0 E II 当且仅当取出 4 个黑球 或 3 个黑球 1 个红球时总得分不超过 5 分 35 13 4 7 1 3 3 4 4 7 4 4 C CC C C P 19 解 由0 12 2 1020 10 30 10 SSS得 2 10202030 10 SSSS 即 2 201211302221 10 aaaaaa 可得 2 201211201211 1010 aaaaaaq 因为0 n a 所以 12 1010 q解得 2 1 q 因而 2 1 2 1 1 1 nqaa n n n 因为 n a是首项 2 1 1 a 公比 2 1 q的等比数列 故 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n nnSS 则数列 n nS的前 n 项和 22 2 2 1 21 2n n n nT 22 1 2 2 2 1 21 2 1 2 132 nn n nn n T 前两式相减 得 12 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 nn n n n T 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 n n nnn 即 2 22 1 2 1 1 nn n nnn T 20 解 1 设 0 mM为椭圆1 5 2 2 y x 的左特征点 由椭圆的左焦点为 0 2 F 可设直线 AB 的方程为 02 kkyx 代入1 5 2 2 y x 得 552 2 2 yky即 0145 22 kyyk 设 2211 yxByxA 则 5 1 5 4 2 21 2 2 k yy k k yy AMB 被x轴平分0 BMAM kk0 2 2 1 1 mx y mx y 0 1221 mxymxy 即 022 211221 myykyykyy 022 2121 myyyky 于是 02 5 4 5 1 2 22 m k k k k 0221 0 mk 即 2 5 m 0 2 5 M 2 对于椭圆2 1 5 1 5 2 2 cbay x c a 2 2 5 于是猜想 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的 左特征点 是椭圆的左准线与x轴的交点 证明 设椭圆的左准线l与x轴相交于 M 点 过 A B 分别作l的垂线 垂足分别为 C D 据椭圆的 第二定义 BD BF AC AF 即 BD AC BF AF DM CM BF AF BDFMAC 于是 DM CM BD AC 即 DM BD CM AC BMFAMFBMDAMC MF 为AMB 的平分线 故 M 为椭圆的 左特征点 21 解 I 6 4 2 4 x x fx xx 注意到 2 0 4 x x 即 2 4 x 解 6 0 4 2 4 x x xx 得6x 或0 x 所以当x变化时 fxf x的变化情况如下 表 x 0 0 0 2 4 6 6 6 fx 0 f x递增极大值递减递减极小值递增 所以 1 0 ln 2 f 是 f x的一个极大值 3 6 ln2 2 f 是 f x的一个极大值 II 点 0 0 6 6 ff的中点是 3 3 4 所以 f x的图象的对称中心只可能是 3 3 4 设 P x f x为 f x的 图 象 上 一 点 P关 于 3 3 4 的 对 称 点 是 3 6 2 Qxf x 463 6 ln 242 xx fxf x x Q 也在 f x的图象上 因而 f x的图象是中心对称图形 III 假设存在实数a b a bD 2b 或4a 若02b 当 xa b 时 1 0 ln0 2 f xf 而0 4 b 4