《微观经济学：原理与模型》及其证明方法

1 微观经济学 原理与模型微观经济学 原理与模型 第三篇第三篇 企业经济行为企业经济行为 第八章第八章 生产函数生产函数 第五节第五节 生产函数与技术进步生产函数与技术进步 附 一般生产函数的一般性质附 一般生产函数的一般性质 在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程 在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程 我们把这个函数叫做我们把这个函数叫做生产函数生产函数 它的性质在经济学中经常用到 这里给出一个简单介绍 它的性质在经济学中经常用到 这里给出一个简单介绍 假设厂商的产出假设厂商的产出由厂商投入资本存量由厂商投入资本存量和劳动力和劳动力来生产 来生产 Y tK tL 这个过程由函数这个过程由函数给出 假设函数给出 假设函数是是 tLtKFtY RRRF 二阶连续可微的 并且满足 二阶连续可微的 并且满足 2 A1A1 即没有资本投入或者没有劳动力投入 即没有资本投入或者没有劳动力投入0 0 0 0 tKFtLF 都不可能生产出产品 这也是人们通常讲的都不可能生产出产品 这也是人们通常讲的 没有免费的午餐没有免费的午餐 A2A2 函数 函数对于变量是非降的 即投入品越多 产出越多 由生对于变量是非降的 即投入品越多 产出越多 由生 F 产函数的可微性 假设产函数的可微性 假设 A2A2 可以表示为可以表示为 0 0 L LKF K LKF A3A3 生产函数是常数规模回报的 即对任意的 生产函数是常数规模回报的 即对任意的 有 有0 tLtKFtLtKF 假设假设 A3A3 告诉我们 如果把所有的投入同时提高告诉我们 如果把所有的投入同时提高 倍 总的产出倍 总的产出 也会相应地提高也会相应地提高 倍 在生产函数的连续可微性假设下 由假设倍 在生产函数的连续可微性假设下 由假设 A3A3 可以得到下面的可以得到下面的 EulerEuler 方程方程 L L LKF K K LKF tLtKF EulerEuler 方程告诉 方程告诉 在完全在完全竞竞争的假争的假设设下 具有常数下 具有常数规规模回模回报报的厂的厂 商的所有收益被商的所有收益被资资本回本回报报和工和工资资所瓜分 因此它的极大化利所瓜分 因此它的极大化利润为润为零 零 A4A4 生产函数对变量是拟凹的 即对任意的生产可行性计划 生产函数对变量是拟凹的 即对任意的生产可行性计划 和任意的和任意的有有 2211 LKLK 1 0 min 1 1 2211 2121 LKFLKF tLtLtKtKF 条件条件 A4A4 等价于厂商的要素需求集是凸集合 但它在应用中较难 因等价于厂商的要素需求集是凸集合 但它在应用中较难 因 此通常用更强的条件来代替 此通常用更强的条件来代替 3 A4A4 生产函数对变量是严格凹的 即对任意的不同的生产可行性计 生产函数对变量是严格凹的 即对任意的不同的生产可行性计 划划和任意的和任意的 有 有 2211 LKLK 1 0 1 1 1 2211 2121 LKFLKF tLtLtKtKF 在生产函数的可微性下 严格凹性等价于生产函数的在生产函数的可微性下 严格凹性等价于生产函数的 HessianHessian 矩阵矩阵 是负定的 同时也可以得到是负定的 同时也可以得到 0 0 2 2 2 2 L LKF K LKF 因此 在生产函数的严格凹性下 资本存量和劳动力的边际生因此 在生产函数的严格凹性下 资本存量和劳动力的边际生 产率都是递减的 产率都是递减的 A5A5 生产函数满足 生产函数满足 InadaInada 条件 即条件 即 lim lim 0 lim 0 lim 00 LKFLKF LKFLKF L L K K L K K K 假设假设 A5A5 表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时 它们的表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时 它们的 边际生产率充分小 反之 当它们的水平充分小时 它们的边际生边际生产率充分小 反之 当它们的水平充分小时 它们的边际生 产率充分大 产率充分大 例如 例如 对任意的对任意的 考虑生产函数 考虑生产函数 0 0 1 1 LaaKLKF 可以验证上面函数满足条件可以验证上面函数满足条件 A1A1 A3A3 和和 A5A5 我们通常所讲的 我们通常所讲的 4 A Cobb DouglasCobb Douglas 生产函数生产函数 tLtKtAtY 4 就满足上述所有的假设 其中就满足上述所有的假设 其中为非负常数 满足为非负常数 满足 1 0 一 常用生产函数一 常用生产函数 在企业现实生产中 生产函数大多是非线性的 在企业现实生产中 生产函数大多是非线性的 为简单起见 通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函为简单起见 通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函 数数 1inear 1inear producdonproducdon function function 并据此来分析有关生产函数的性 并据此来分析有关生产函数的性 质 质 一一 线性齐次生产函数线性齐次生产函数 线性齐次生产函数具有如下性质 线性齐次生产函数具有如下性质 1 1 规模报酬不变 规模报酬不变 规模报酬不变是线性齐次生产函数的规模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质首要性质 根据式根据式 8 8 13 13 和式和式 8 8 16 16 由于 由于 则 则1 rE 8 8 17 17 qKLfKLf r 式式 8 8 17 17 表示投入表示投入变动变动 倍 产量也相应变动倍 产量也相应变动 倍 呈线性变倍 呈线性变KL 动 动 5 2 2 要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例 而与投人数量 要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例 而与投人数量 无关 无关 从平均产量来看 令从平均产量来看 令 并代入式 并代入式 8 8 17 17 可得 可得 L 1 8 8 18 18 L K L K f L K L L f L q 1 由于由于 将式 将式 8 8 18 18 代入 可得代入 可得 K L L q K q 8 8 19 19 L K L K L K K L L K K q 从边际产量来看 由式从边际产量来看 由式 8 8 18 18 有有 8 8 20 20 L K L L K Lfq 1 求上式对求上式对 的偏导数 可得的偏导数 可得L 8 8 21 21 L K L K L K L K L K L L K L q 2 由式由式 8 8 20 20 对对的偏导数 可得的偏导数 可得K 8 8 21 21 L K LL K L L q 1 式式 8 8 18 18 和式和式 8 8 19 19 式 式 8 8 21 21 和式和式 8 8 22 22 说明 说明 都都APMP 是是的函数 的函数 L K 3 3 线性齐次生产函数满足欧拉定理 线性齐次生产函数满足欧拉定理 Euler s Euler s theorem theorem 针对线性齐次生产函数 针对线性齐次生产函数 欧拉定理欧拉定理可用式可用式 8 8 23 23 来表示 其经来表示 其经 6 济含义是 济含义是 各种投入的各种投入的边际产边际产量与投人数量乘量与投人数量乘积积之和 等于之和 等于总产总产量量 8 8 23 23 K K q L L q q 二二 柯布一道格拉斯生产函数柯布一道格拉斯生产函数 柯布一道格拉斯生产函数柯布一道格拉斯生产函数 Cobb Douglas Cobb Douglas productionproduction function function 简简 称称 C DC D 生产函数 其表达式为生产函数 其表达式为 8 8 24 24 K ALq 其中 其中 为为规模参数规模参数 scale scale parameter parameter 为劳动的产为劳动的产A0 A 出弹性出弹性 为资本的产出弹性为资本的产出弹性 C DC D 生产函数具生产函数具10 10 有如下性质 有如下性质 1 1 次齐次生产函数 次齐次生产函数 由于由于 8 8 25 25 qKLAKLAKLA 对照式对照式 8 8 16 16 可知 可知 r 2 2 等产量线的斜率为负 并凸向原点 等产量线的斜率为负 并凸向原点 对式对式 8 8 24 24 微分 可得微分 可得 dKKLAdLKLAdK K q dL L q dq 11 由于由于 7 0 dq 故故 dKKLAdLKLA 11 8 8 26 26 0 0 1 1 KL L K KLA KLA dL dK 上式表示 上式表示 C D 生生产产函数等函数等产产量量线线的斜率 即的斜率 即劳动对资劳动对资本的本的边际边际技技 术术替代率替代率为负为负 而且而且 0 0 0 1 2 22 2 dL dK KLKL dL dK L L K dL dL L dL dK L K L dL dL dK L dL dL Kd 上式表明 上式表明 C D 生生产产函数等函数等产产量量线线斜率的斜率的变变化率化率为为正 故等正 故等产产量量线线 凸向原点 凸向原点 3 3 规模报酬状况取决于 规模报酬状况取决于大于 小于还是等于大于 小于还是等于 若 若 则 则 11 为线性齐次生产函数 为线性齐次生产函数 因因 式 式 8 8 24 24 可表达为可表达为 1 1 KALq 8 8 27 27 qKALKLAKLAKLA 11111 三三 不变替代弹性生产函数不变替代弹性生产函数 不变替代弹性生产函数不变替代弹性生产函数 constant constant elasticityelasticity ofof 8 substitutionsubstitution productionproduction function function 简称简称 CESCES 生产函数生产函数 是包括线 是包括线 性生产函数 投入产出生产函数 性生产函数 投入产出生产函数 C DC D 生产函数在内的一簇具有不生产函数在内的一簇具有不 变替代弹性的生产函数 变替代弹性的生产函数 它的一般形式是它的一般形式是 8 8 28 28 1 1 KLAq 其中 其中 为规模参数 为规模参数 为产出弹性 为产出弹性 为替代参为替代参A0 A 10 数 替代弹性数 替代弹性 故 故 0 1 1 E1 根据替代参数 可以推导替代弹性 从而确定生产函数的性质 根据替代参数 可以推导替代弹性 从而确定生产函数的性质 1 若 若 CES 生生产产函数函数蜕蜕化化为为具有完全替代具有完全替代弹弹性性1 1 1 E 的的线线性生性生产产函数函数 1 KLAq 2 若 若 CES 生生产产函数函数变变成完全无替代成完全无替代弹弹性的投入性的投入 0 1 1 E 产产出生出生产产函数函数 b K a L q min 3 若 若 CES 生生产产函数函数变变成成为为具有具有单单一替代一替代弹弹性的性的0 1 1 1 E C D 生生产产函数函数 9 1 KALq 显显然 然 C D 生生产产函数是函数是 CES 生生产产函数的特例 即具有函数的特例 即具有单单一替代一替代 弹弹性的性的 CES 生生产产函数 而函数 而 CES 生生产产函数是函数是 C D 生生产产函数的一般化 函数的一般化 即替代即替代弹弹性性虽为虽为常数 但不一定是常数 但不一定是单单一替代一替代弹弹性的性的 C D 生生产产函数 函数 上述各种不同替代弹性生产函数的等产量线可以表示为图上述各种不同替代弹性生产函数的等产量线可以表示为图 8 8 1010 OL 0 E E 1 E K 图图 8 10 不同替代不同替代弹弹性的等性的等产产量量线线 10 二 技术进步及其测定二 技术进步及其测定 一一 技术进步的概念技术进步的概念 技术进步技术进步 technical technical progress progress 的概念来自经济学运用生产函的概念来自经济学运用生产函 数对数对经济增长经济增长的研究 的研究 在考虑技术进步时 通常把生产函数定义为在考虑技术进步时 通常把生产函数定义为 8 8 29 29 KLftAq 其中 其中 和和分别代表劳动和资本的投入 分别代表劳动和资本的投入 代表产量 代表产量 代表技术代表技术LKqA 进步因子 为时间进步因子 为时间 的函数 人们将劳动和资本投入以外影响产出的的函数 人们将劳动和资本投入以外影响产出的t 一切因素 笼统地称为技术进步 一切因素 笼统地称为技术进步 为了解释技术进步的性质 经济学采取各种统计方法对其进行为了解释技术进步的性质 经济学采取各种统计方法对其进行 剖析 分解出一系列解释变量 尽管如此 技术进步仍然带有某种剖析 分解出一系列解释变量 尽管如此 技术进步仍然带有某种 神秘色彩 受到各种术语含义不同的困扰 神秘色彩 受到各种术语含义不同的困扰 这里 我们从广义上将这里 我们从广义上将 技术进步定义为 技术进步定义为 能能够够使一定数量的投入使一定数量的投入组组合 合 产产出更多出更多产产品的所有品的所有 因素共同作用的因素共同作用的过过程 程 一般来说 广义的技术进步主要体现在以下几方面 一般来说 广义的技术进步主要体现在以下几方面 知知识创识创新 新 装装备备改改进进 工 工艺变艺变革 革 劳动劳动素素质质 管理水平 政策 管理水平 政策环环境 等等 境 等等 11 二二 技术进步的类型技术进步的类型 一般来说 任何意义上的技术进步 都意味着生产函数的变动 一般来说 任何意义上的技术进步 都意味着生产函数的变动 按照边际技术替代率的变化 可将技术进步分为三种类型 按照边际技术替代率的变化 可将技术进步分为三种类型 1 1 资本使用型技术进步 资本使用型技术进步 在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量 的变化率大于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替的变化率大于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替 代率递减 称为代率递减 称为资本使用型资本使用型 capital capital using using 技术进步 又称劳动节技术进步 又称劳动节 约型约型 1abor 1abor saving saving 技术进步技术进步 即 即 L L K K MP MPd MP MPd 2 2 劳动使用型技术进步 劳动使用型技术进步 在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量 的变化率小于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替的变化率小于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替 代率递增 称为代率递增 称为劳动使用型劳动使用型 1abor 1abor using using 技术进步 又称资本节约技术进步 又称资本节约 型型 capital capital saving saving 技术进步技术进步 即 即 L L K K MP MPd MP MPd 12 3 3 中性技术进步 中性技术进步 在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量在一定的资本 劳动比例下 技术进步的结果使资本边际产量 的变化率等于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替的变化率等于劳动边际产量的变化率 即劳动对资本的边际技术替 代率不变 称为代率不变 称为中性中性 neutral neutral 技术进步技术进步 即 即 L L K K MP MPd MP MPd 上述不同类型的技术进步 可以通过等产量线向原点移动的不上述不同类型的技术进步 可以通过等产量线向原点移动的不 同方式来反映 同方式来反映 在图在图 8 8 1111 中 假设所有产量水平相同 但中 假设所有产量水平相同 但 的技术的技术 2 q 3 q 4 q 水平都高于水平都高于 等产量线向原点移动的不同轨迹 反映技术进步的 等产量线向原点移动的不同轨迹 反映技术进步的 1 q 类型不同 在价格因素不变的条件下 类型不同 在价格因素不变的条件下 属于中性技术进步 属于中性技术进步 21 qq 属于资本使用型技术进步 属于资本使用型技术进步 则属于劳动使用型技术进则属于劳动使用型技术进 31 qq 41 qq 步 步 13 1 q OL 2 q 3 q 4 q K 图图 8 11 技技术进术进步的步的类类型型 三三 技术进步的测定技术进步的测定 1 1 综要素生产率 综要素生产率 如何测定技术进步的作用 是一直困扰着经济学界的难题 至如何测定技术进步的作用 是一直困扰着经济学界的难题 至 今尚未取得共识 在实际工作中 目前影响较大的是美国索洛今尚未取得共识 在实际工作中 目前影响较大的是美国索洛 R R Solow Solow 在在 19571957 年发表的年发表的 技术进步与总生产函数技术进步与总生产函数 1 1 以以 表示产出 生产函数的一般形式为表示产出 生产函数的一般形式为Y 8 8 30 30 K ALq 两边取自然对数并微分 可得两边取自然对数并微分 可得 1 Robert Solow Technical change and the aggregate production function Review of Economics and Statistics 1957 14 KLf KLdf A dA Y dY 因为因为 dK K f dL L f KLdf 所以所以 K dK KLf K K f L dL KLf L L f A dA Y dY 式中 左端为经济增长率 右端第一项为广义技术进步贡献率 第式中 左端为经济增长率 右端第一项为广义技术进步贡献率 第 二项为劳动贡献率二项为劳动贡献率 劳动产出弹性与其增长率之积劳动产出弹性与其增长率之积 第三项为资本 第三项为资本 贡献率贡献率 资本产出弹性与其增长率之积资本产出弹性与其增长率之积 即即 K dK E L dL E A dA Y dY KL 8 8 31 31 K dK E L dL E Y dY A Ad KL 在实际测算中 由于难以直接估计各项投入的产出弹性 通常在实际测算中 由于难以直接估计各项投入的产出弹性 通常 假设它们等于各自在总产出中所占的比例 而且规模报酬不变 假设它们等于各自在总产出中所占的比例 而且规模报酬不变 据此 利用有关统计数据 便可测算出式据此 利用有关统计数据 便可测算出式 8 8 31 31 中的技术进步中的技术进步 率 索洛利用美国率 索洛利用美国 19091909 19491949 年的有关数据 得到式年的有关数据 得到式 8 8 31 31 中的中的 各项数值为各项数值为 每年经济增长率每年经济增长率 75 2 Y dY 每年劳动增长率每年劳动增长率 00 1 L Ld 15 每年资本增长率每年资本增长率 75 1 K Kd 劳动的产出弹性劳动的产出弹性65 0 L E 资本的产出弹性资本的产出弹性35 0 K E 技术进步率技术进步率 50 1 A Ad 这就表明 在这个时期中 美国经济增长的这就表明 在这个时期中 美国经济增长的 5555 来自技术进来自技术进 75 2 50 1 步 但是 由于这个技术进步中也包括自然因素 制度因素 政策步 但是 由于这个技术进步中也包括自然因素 制度因素 政策 因素 国际因素等 所以人们通常称之为因素 国际因素等 所以人们通常称之为综合要素生产率综合要素生产率 2 2 体现型技术进步率 体现型技术进步率 李子奈 鲁传一在索洛 英特列里格托李子奈 鲁传一在索洛 英特列里格托 Intriligator Intriligator 菲尔 菲尔 普斯普斯 Phelps Phelps 纳尔逊 纳尔逊 Neleon Neleon 等人研究的基础上 提出一个包括等人研究的基础上 提出一个包括 资本 劳动体现型技术创新和非体现型管理创新的生产函数模型资本 劳动体现型技术创新和非体现型管理创新的生产函数模型 1 1 8 8 32 32 L dL bdE K dK adE A Ad Y dY LK 其中 其中 为经济为经济增增长长率率 Y dY 为为管理管理创创新率新率 A Ad 为资为资本 本 劳动产劳动产出出弹弹性性 LK EE 为资为资本 本 劳动劳动增增长长率率 L Ld K Kd 分分别为别为由于由于资资本本质质量提高而使量提高而使资资本使用效率年提高速度 由于本使用效率年提高速度 由于 1 李子奈 鲁传一 管理创新在经济增长中贡献的定量分析 清华大学学报 哲学社会科学版 2002 年 第 2