02一阶微分方程 吴宗其 高等数学教学课件_第1页
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9 2一阶微分方程 一 可分离变量的一阶微分方程 三 一阶线性微分方程 二 齐次微分方程 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是F x y y 0 一阶微分方程的通解含有一个任意常数 为了确定这个任意常数 必须给出一个初始条件 通常都是给出x x0时未知函数对应的值y y0 记作 一阶微分方程的初值问题为 或 一 可分离变量的一阶微分方程 如果方程F x y y 0能写成形如 的形式 则方程F x y y 0称为可分离变量的微分方程 形如g y dy f x dx的一阶微分方程称为变量已分离的微分方程 可分离变量的微分方程 方程的解法 1 分离变量 g y dy f x dx 2 两边同时积分 一 可分离变量的一阶微分方程 其中C是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解 如果方程F x y y 0能写成形如 的形式 则方程F x y y 0称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 分离变量得 解 为简便 此类积分可不写绝对值号 两边积分得 lny lnx lnC 这就是所给微分方程的通解 两边积分得 即 或 解 分离变量得 两边积分得 ydy xdx 令2C r2 r为任意常数 则上式写成x2 y2 r2 这就是所给微分方程的通解 几何意义 圆心在原点半径为任意实数的同心圆簇 解 例3 分离变量 两边积分 通解为 所求特解为 二 齐次微分方程 如果方程F x y y 0能写成形如 的形式 则方程F x y y 0称为齐次微分方程 齐次微分方程 齐次微分方程举例 齐次方程的解法 提示 解 这是一个齐次方程 分离变量 得 u lnu lnx C1 两边积分 得 或u ln xu C1 令y ux 则原方程变为 解 这是一个齐次方程 分离变量 得 u lnu lnx C1 两边积分 得 或u ln xu C1 令y ux 则原方程变为 例5 解 即 两边积分 得 即 将代入上式 得 故C 1 从而所求特解为 三 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 形如y p x y q x 的方程称为一阶线性微分方程 方程y p x y 0称为一阶线性齐次方程 一阶线性齐次方程的解法 一阶线性齐次微分方程y p x y 0是可分离变量的方程 一阶线性非齐次方程的解法 常数变易法 设一阶线性非齐次微分方程y p x y q x 的通解为 于是一阶线性非齐次微分方程的通解为 C为任意常数 先解齐次方程 分离变量 得 积分后得 令 把上式代入要解的非齐次方程后得 积分后得 于是原方程的通解为 本题也可直接代通解公式来解 解 提示 例6 求微分方程ydx x y3 dy 0 y 0 的通解 将原方程改写为 由通解公式得 或4xy y4 C1 C1 4C为任意常数 解1 将原方程改写为 由通解公式得 例6 求微分方程ydx x y3 dy 0 y 0 的通解 或4xy y4 C1 C1 4C为任意常数 解2 将原方
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