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第四章 线性方程组,第二节 n维向量空间第三节 向量组的线性相关性,1,本次课主要包含以下内容1.n维向量的概念2.向量的线性表示3.向量的线性相关与线性无关 （定义，性质和判断）,n维向量,列向量,行向量,2,1. n维向量空间概念,3,4,5,例：平面是二维向量空间，立体空间中的向量是三维向量,定义: 设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于加法及数乘两种运算封闭, 那,么就称集合V 为向量空间.,6,2. 向量的线性表示,例如：Rn 中的任一个n维向量 = ( x1, x2 , , xn ) 都是单位向量组的一个线性组合。, = x11 + x22 + + xnn,基本单位向量,1 = ( 1, 0, , 0), 2 = ( 0, 1, , 0), , n = ( 0, 0, , 1)为n维单位向量组。,7,零向量是任一向量组的线性组合。,8,9,10,向量组间的线性表示,11,3. 向量的线性相关与线性无关,12,例1：,考察 n 维向量组,解： 设有一组数1，2， ，n，使得,11 + 22 + + nn = 0,即：,( 1, 0, , 0 ) + ( 0, 2, , 0 ) + + ( 0, 0, , n ),= (1，2， ，n ) = 0, 1= 2 = = n = 0,故 1，2， ，n 线性无关。,1 = ( 1, 0, , 0), 2 = ( 0, 1, , 0), , n = ( 0, 0, , 1)的线性相关性。,13,例2: 讨论向量组 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 0, 2), 3= ( 2, 1, 0)的线性相关性。,解：设有一组数1, 2, 3 , 使,11 + 22 + 33 = 0,即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 ) = (0, 0, 0),1+ 22 + 23 = 0,1 3 = 0,122 = 0,14,化简得：,有非零解，比如 1=2， 2=1, 3=2,所以，向量组1, 2 , 3 线性相关。,1+ 22 + 23 = 0,122 = 0,15,16,17,即一组线性无关的向量排列成的矩阵的秩恰好就是向量的个数（若为方阵就是满秩）.,18,所以,19,20,注：新的分量插在每个向量的同一位置； 可以插在任何位置，不一定要放在最后一位；不同向量插
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