第2章知识点整理

立体几何一、平行关系的证明1、线线平行的证明 （1）定义：如果两条直线在同一平面内，且没有公共点，则这两条直线平行。 （2）初中所学的判定方法(i) 相等,两直线平行;(i) 相等,两直线平行;(i) 互补,两直线平行; (3)三角形中位线的性质 (4)平行四边形的性质 (5)公理4(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行., (6)线面平行的性质定理（线面平行线线平行）:如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。 (7)面面平行的性质定理（面面平行线线平行）:如果两个平面和第三个平面相交，则交线平行。 (8) 线面垂直的性质定理:如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2、线面平行判定（1）定义： 直线和平面没有公共点。（2）线面平行的判定定理（线线平行线面平行）： 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。（3）面面平行的性质： 两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（4）利用垂直的结论： 如果一条直线和一个平面分别与另一个平面垂直，且直线不在这个平面内，则该直线和这个平面平行。3、面面平行判定（1）定义： 平面和平面没有公共点。（2）面面平行的判定定理（线面平行面面平行）：证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面。推论：证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行。（3）利用线面垂直：证明两平面同垂直于一条直线。（4）利用平面平行的传递性：证明两个平面同平行于一个平面。二、垂直关系的证明1、线线垂直的证明 （1）定义： 空间两直线所成的角是。有相交垂直和异面垂直两种。（2）利用平面图形的性质： 直角梯形的直角；矩形的内角；圆的直径所对的圆周角；正方形的对角线； 等腰三角形三线合一性质； 勾股定理逆定理等。（3）用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）：一条直线若垂直于一平面,则直线垂直于这个平面内任意一条直线。（4）用结论：两条平行直线，一条垂直第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。（5）用结论：两条直线，一条垂直于平面，另一条平行于平面，则这两条直线垂直。（6）补充：三个两两垂直的平面的交线垂直。2、线面垂直的证明 （1）线面垂直的判定定理（线线垂直线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 （2）面面垂直的性质定理（面面垂直线面垂直）：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（3）用结论：两条平行直线，一条垂直于平面，则另一条也垂直于此平面。（4）补充：一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直。3、面面垂直的证明 （1）定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角。 （2）面面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）一个平面经过另外一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。证明一个平面经过另一个平面的一条垂线。（3）补充结论：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。三、空间的夹角问题 1. 常见空间角的类型： 2. 求空间角的思路： 空间角转化为平面角3. 求空间角的步骤：找证求（放在三角形中）平面图形空间图形异面直线的夹角 直线和平面所成角两个平面所成二面角夹角图示定义由一点出发的两条射线组成的图形异面直线所成的角：作，所成的角（锐角或直角）为异面直线所成的角直线与平面所成的角：a是a在平面上的射影,a与a所成锐角为直线与平面所成的角。二面角的平面角：O在棱上，OA在内，OA棱，OB在内，OB棱，AOB是二面角的平面角。范围作二面角的平面角常有三种方法 定义法： 垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；面积射影法：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)三、空间的距离问题1点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） 定义法：作垂线 等体积法：例、棱长为a的正正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A1到平面AB1D1的距离.变式练习：求直线BD到平面AB1D1的距离.2异面直线间的距离常有求法： 定义法：异面直线间的