结构振动理论-第三讲

12:31,单自由度系统自由振动,2.5 线性阻尼系统的自由振动,线性阻尼:阻尼力与速度一次方成正比，方向相反。,单自由度线性阻尼振动系统,由牛顿第二定律得到：,引入记号,有阻尼振动方程：,设解为,，代入以上微分方程得到其特征方程,称为阻尼率 (无量纲),称为临界阻尼系数,定义,12:31,特征根(值)依赖的不同情况取实数或复数,因此原方程的通解具有不同的形式。,特征方程有两个根,单自由度系统自由振动,超(过)临界阻尼情形,临界阻尼情形,亚临界阻尼情形,12:31,超(过)临界阻尼情形,自由振动方程通解：,特征方程有两个不相等的负实数根。,单自由度系统自由振动,代入初始条件有：,通解的两项均为随时间单调变化的量,12:31,临界阻尼情形,单自由度系统自由振动,自由振动通解：x=(A+Bt)e-nt,是二重负实数根.,设 t=0 时，初始位移为 初始速度为 , 则方程解为,超临界阻尼和临界阻尼情形下，系统的自由运动不具有振动特性。,x (t),t,12:31,亚临界阻尼情形,单自由度系统自由振动,运动合写成,在亚临界阻尼下，系统的自由运动具有振动特性。此时，振动逐渐衰减，能量不断消耗。,两个特征根是共轭复数,其中定义：,有阻尼固有圆频率,12:31,单自由度系统自由振动,设 t=0 时，初始位移为 ，初始速度为 , 则系统的自由振动响应,结构阻尼：内摩擦引起，能量耗散与位移振幅平方成正比。,库仑阻尼：表面干摩擦引起，干摩擦力与运动方向相反，与 接触表面间法向力成正比。,阻尼分类,粘性阻尼：粘性阻尼力与振动速度成正比。,12:31,2.6 衰减振动与对数减幅率,衰减振动具有等时性。习惯上将nd当作衰减振动的频率。,亚临界阻尼自由振动响应：,当：,单自由度系统自由振动,小阻尼率下周期略微变长。,时，阻尼对固有频率影响甚微；但对振幅影响不容忽略.,振动达到极值,可以证明:衰减运动任意两个相邻极大值之间的时间间隔等于衰减振动的周期。证明如下：,令上式右端等于0，得,考虑到极大值和极小值是相互交替出现的，所以任意两个相邻极大值对应的相位差刚好为2.,12:31,为常数,称为减幅率，取自然对数,称为对数减幅率，记为-,衰减运动任意两个相邻位移极大值之比记为,当阻尼很小，即,时，有：,即，可以由衰减振动时间历程(响应)曲线算出对数减幅率，进而求得阻尼率,有时，可以用相隔n个周期的极大值之比确定对数减幅率：,单自由度系统自由振动,12:31,第三章 单自由度系统的定常强迫振动,3.1 谐和激励 无阻尼情形,方程的解=(对应齐次方程的通解) x1+(方程的一个特解) x2,设特解(定常强迫响应) 为,单自由度系统的定常强迫振动,强迫振动 线性系统 叠加原理 频率特性,则,12:31,其中,称为“频率比”,单自由度系统的定常强迫振动,代入振动方程，得振幅：,显然，外激励不仅激起强迫振动(第四项,形式与激励相同的谐和函数)，同时也激起自由振动(第三项)。,设初始位移 ，初始速度 , 得系统总的响应,系统总的响应为,12:31,考察强迫振动响应,当1时，x2与外扰力反相，振幅随增大而减小。,当=1，即 时，响应振幅趋于无穷，这种现象称为共振。振幅随时间成比例增长，这种情况应当避免。,此时，,放大率与频率比的关系,12:31,当 x00，,当外扰力频率与固有频率 相等时发生共振。共振的建立过程如何？,单自由度系统的定常强迫振动,考察振动响应,记,注意到,因此响应过程可以表示为,共振建立过程,12:31,3.2 系统对谐和激励的响应线性阻尼情形,有阻尼单自由度系统振动方程为,引入记号,原方程特解(定常(稳态)响应),齐次方程通解(自由响应),单自由度系统的定常强迫振动,令,12:31,单自由度系统的定常强迫振动,系统对谐和激励总响应为,由初始条件，可以确定参数 B、D，从而确定自由振动响应。有阻尼自由振动是衰减振动，随着时间增长，逐渐消失(瞬态响应)。最后，只剩下强迫振动的稳态(定常)响应 x2 。,对于稳态响应 x2，由,原方程的通解为：,代入振动方程，得：,12:31,单自由度系统的定常强迫振动,可见，稳态响应的振幅和初相位与初始条件无关,只决定于系统参数和外激励特性。,综上,给定初始条件下,线性阻尼情况下系统响应:,于是,12:31,画出 和 曲线分别称为幅频特性曲线和相频特性曲线,单自由度系统的定常强迫振动,图3.3.2 幅频特性曲线,图3.3.3 相频特性曲线,定义(位移响应)放大率,12:31,以放大率达到最大值来判断共振,叫作共振幅值法。由图3.3.2可见，对于不同的，达到max时的并不等于1，即外力频率并不等于固有频率。所以按共振幅值法，并不能准确地找出系统固有频率。,单自由度系统的定常强迫振动,当,由图3.3-2可见在共振区附近，阻尼对振幅有非常显著影响。对于较小的1值，产生max的值与=1相差很小，所以 工程实用中，往往仍说，当=1，即=n时，发生共振。,12:31,单自由度系统的定常强迫振动,当测出的位移响应与激振力有90相位差时，表示此时的激振频率正好等于系统的固有频率。,以 (即测出的位移响应与外加激振力有90相位差)来判断共振,叫做共振相位法。由图3.3-3可见，对于不同的, 等于1时 。所以按共振相位法，无论系统阻尼大小如何，都可以准确地找出系统固有频率。,对于相位角,当,12:31,3.3 强迫振动能量平衡,单自由度系统的定常强迫振动,一个周期内阻尼力所做的