课时提升作业(二十五)43

圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十五)平面向量的数量积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014大连模拟)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于()A.865B.-865C.1665D.-16652.(2014北京模拟)已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=19,则|a-b|=()A.13B.15C.17D.73.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2014保定模拟)在ABC中,AB=4,AC=3,ACBC=1,则BC=()A.3B.2C.2D.35.已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.42,0B.4,42C.16,0D.4,06.(2014温州模拟)已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形7.(2014青岛模拟)在直角坐标平面内,已知向量OB=(1,0),OC=(0,1),A为动点,|CA|=12,则OA与OB夹角的最小值为()A.6B.4C.3D.28.(能力挑战题)已知平面内的向量OA,OB满足:|OA|=|OB|=2,OA与OB的夹角为2,又OP=1OA+2OB,011,122,则点P的集合所表示的图形的面积是()A.8B.4C.2D.1二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.10.(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2),若ABO=90,则实数t的值为.11.(2014许昌模拟)已知|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为.12.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90,点C在以O为圆心的劣弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则xy的取值范围是.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014苏州模拟)已知a,b,c是一个平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,ca,求c及ac.(2)若|b|=52,且a+2b与3a-b垂直,求a与b的夹角.14.(2014长春模拟)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0.(1)求证:a+b与a-b互相垂直.(2)若ka+b与ka-b(k0)的长度相等,求-.15.(能力挑战题)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|a+b|恒成立,求a与b的夹角.答案解析1.【解析】选D.b=2a-(3,18)=(8,6)-(3,18)=(5,-12),设a,b的夹角为,则cos=20-36513=-1665.2.【解析】选D.由|a+b|=19平方,得a2+b2+2ab=19,将|a|=2,|b|=3代入此式得ab=3,所以|a-b|=7.3.【解析】选C.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4.【解析】选D.设A=,因为BC=AC-AB,AB=4,AC=3,所以ACBC=AC-ACAB=9-ACAB=1.ACAB=8.cos=ACAB|AC|AB|=834=23,所以BC=16+9-24323=3.5.【解析】选C.根据题意,由于向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+4-4(3cos-sin)=8-8sin3-,所以最小值为0,最大值为16,故答案为C.【加固训练】已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB的最小值为()A.-4+2B.-3+2C.-4+22D.-3+22【解析】选D.设APB=2,|PO|=x,则PAPB=|PA|PB|cos2=|PA|2cos2=(|PO|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)1-2x2=x2-2-1+2x2-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号.6.【思路点拨】注意AB|AB|,AC|AC|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面向量的数量积变形计算,由所得结果进行判断.【解析】选A.因为AB|AB|AC|AC|=ABAC|AB|AC|=|AB|AC|cosBAC|AB|AC|=cosBAC=12,所以BAC=60,又AB|AB|+AC|AC|与以BAC为顶角的菱形的一条对角线共线,即是BAC的平分线,由题意,得BAC的平分线与BC边垂直,所以AB=AC,故ABC为等边三角形.【加固训练】(2014景德镇模拟)在ABC中,若|BA+BC|=|AC|,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.根据向量加法的平行四边形法则可知|BA+BC|等于AC边上的中线的二倍,所以由|BA+BC|=|AC|知AC边的中线长等于AC长度的一半,所以ABC为直角三角形.7.【解析】选C.|CA|=12,所以A点在以C(0,1)为圆心,以12为半径的圆上,如图OA与圆C相切时,AOB最小,易得AOC=6,所以AOB=3,故选C.【误区警示】解答本题易误选A,出错的原因有二,一是不能利用|CA|=12确定A点的轨迹,使解题思路受阻,而猜A;二是误把AOC的大小当作OA与OB的夹角.8.【思路点拨】建立平面直角坐标系,转化为坐标运算,求点P的坐标满足的不等式组,画出其表示的平面区域,然后求其面积.【解析】选B.如图,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),则由OP=1OA+2OB,得(x,y)=1(2,0)+2(0,2)=(21,22),即x=21,y=22.又因为011,122,所以0x2,2y4.所以点P的集合为(x,y)|0x2,2y4,它表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以点P的集合所表示的图形的面积为22=4.【加固训练】已知O是ABC内部一点,OA+OB+OC=0,ABAC=23,且BAC=30,则AOB的面积为()A.2B.1C.12D.13【解析】选D.由OA+OB+OC=0,得O为ABC的重心,SAOB=13SABC.又ABAC=|AB|AC|cos30=23,得|AB|AC|=4,SABC=12|AB|AC|sin30=1.故SAOB=13.9.【思路点拨】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得数量积AEBD.【解析】以点B为原点,以BC,BA的方向为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),所以AE=(2,-1),BD=(2,2),所以AEBD=2.答案:210.【解析】AB=OB-OA=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为ABO=90,所以ABOB,所以ABOB=0,32+2(2-t)=0,所以t=5.答案:511.【解析】(a+b)a=a2+ba=4+|b|a|cos60=6.令两向量(a+b),a的夹角为,则由(a+b)a=|a+b|a|cos,得|a+b|cos=3,则a+b在a上的投影为3.答案:312.【解析】依题意,OAOB=0,x0,y0,x2+y2=12xy,所以xy0,12,当且仅当x=y=22时取等号.答案:0,1213.【解析】(1)因为ca,a=(1,2),设c=a=(,2),又因为|c|=25,所以2+42=20得=2.当c,a同向时,c=(2,4),ac=10,当c,a反向时,c=(-2,-4),ac=-10.(2)因为(a+2b)(3a-b)=0,所以3a2+5ab-2b2=0.又因为|a|=5,|b|=52,所以35+5ab-254=0,即ab=-52.设a与b的夹角为,则cos=-52552=-1.所以=180,所以a与b的夹角为180.14.【解析】(1)因为(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)2-(cos2+sin2)2=1-1=0.所以a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),ka-b=(kcos-cos,ksin-sin),所以|ka+b|=k2+2kcos(-)+1,|ka-b|=k2-2kcos(-)+1,因为|ka+b|=|ka-b|,所以k2+2kcos(-)+1=k2-2kcos(-)+1,有2kcos(-)=-2kcos(-),因为k0,故cos(-)=0,又因为0,0-1时,cos-(x2-1)(2x-2)2=-x+122,由于-x+122-22,故c