自动控制原理-第3章线性系统的时域分析(2)

1,第三章 控制系统的时域分析法,控制系统的稳定性一阶系统分析二阶系统分析高阶系统分析控制系统的稳态误差分析小结,2,导 读为什么要介绍本章? 对控制系统的性能的要求，主要是稳定性、暂态性能和稳态性能几个方面。在自动控制理论中，发展了多种分析方法。系统分析是系统设计的基础，特别是稳定性分析。大部分系统的设计方法都是在系统稳定性分析基础上发展起来的。本章主要讲什么内容? 线性定常系统的时域分析方法。系统稳定的充要条件、劳思稳定判据等代数稳定判据。暂态性能分析方法，主要介绍典型二阶系统的暂态性能指标，以及高阶系统的主导极点分析方法。稳态误差分析与计算方法。,3,表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。,一、典型初始状态,典型输入作用,规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时,4, 脉冲函数：,理想单位脉冲函数：定义：,其拉氏变换后的像函数为：,典型输入作用,5, 阶跃函数：,A阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。,其拉氏变换后的像函数为：,典型输入作用,6, 斜坡函数（速度阶跃函数）：,B=1时称为单位斜坡函数。, 抛物线函数（加速度阶跃函数）：,C=1时称为单位抛物线函数。,其拉氏变换后的像函数为：,其拉氏变换后的像函数为：,典型输入作用,7,提示：上述几种典型输入信号的关系如下：,其拉氏变换后的像函数为：,分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。 当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。,典型输入作用,8,动态过程和稳态过程,瞬时响应 Transient Response 瞬态过程 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。稳态响应 Steady_state Response 稳态过程 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。,在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都可由动态过程和稳态过程组成。,9,在设计控制系统时，能根据元件的性能，估算出系统的动态特性。 控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。,稳定性,控制系统处于平衡状态，如果控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态。,系统稳定,如果控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态。,系统不稳定,系统不稳定产生的后果,物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。,10,动态过程：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。 对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。,稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,11,本章的主要内容,3.1 稳定性分析3.2 暂态性能分析3.3 稳态性能分析,12,线性定常系统的稳定性分析,稳定的概念,如果系统受到扰动时，偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，如果系统不能恢复或越偏越远，则系统是不稳定的。,若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定，简称稳定； 反之，若在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。,13,r(t)作用下的响应分量与系统的初始条件产生的响应分量之和,扰动输入n(t)作用下的响应分量,线性定常系统的稳定性分析,14,tt2时,系统可能经过一定的时间回到原来的平衡工作点,也可能随着时间的增加而无限偏离原来的平衡工作点。,平衡点,偏离平衡点,恢复平衡点,若n(t)=0后，有 若n(t)=0后，有称系统是稳定的。 称系统是不稳定的。,线性定常系统的稳定性分析,15,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有,系统仍能回到原有的平衡状态,线性定常系统的稳定性分析,16,线性系统稳定的数学条件,设系统原平衡点为c0(t)=0。现加入扰动输入n(t)=(t)，即N(s)=1。扰动引起的输出c(t)=cn(t)=g(t),C(s)=Cn(s)=L-1g(t)。设扰动输入引起系统输出的闭环传递函数为,输出的拉普拉斯变换为,17,Ai、Bi和Ci由系统结构参数决定。 (1) 若li0，si0，系统最终能恢复至原平衡状态，是稳定的。但由于存在复数根(w i0)，系统响应为衰减振荡；(2) 若li0，si1。,40,临界阻尼状态,系统的特征方程为：,闭环极点为重极点：,=1,不振荡,临界阻尼状态,41,具有非周期性，响应没有振荡，即无峰值时间 tp和超调量指标。调节时间ts：,临界阻尼特性,=1,求解困难，应用经验公式：,加大开环放大系数，增加wn，系统响应时间减小。,42,负阻尼状态,0,不相等的正实根,共轭复根,单调发散,发散振荡,43,阶跃响应为：,极点为：,欠阻尼状态,决定了指数衰减的快慢,阻尼振荡圆频率,44,衰减振荡,限定自然频率为1，不同阻尼系数下，系统的单位阶跃响应曲线比较。,45,t,46,欠阻尼特性,阻尼振荡频率wd和周期Td,峰值时间tp,47,最大超调量%,欠阻尼特性,48,欠阻尼特性,上升时间tr,在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。,49,欠阻尼特性,调节时间ts,当c(t) 和c() 之间的误差达到规定的范围之内比如5% c()，或2% c()，且以后不再超出此范围的最小时间。即当tts,c(t)的包络线为,由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,50,衰减振荡瞬态过程的性能指标,51,衰减振荡瞬态过程的性能指标,由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。,52,小结：,当 时，系统的输出为正弦曲线。这种情况称为无阻尼振荡，系统处于临界稳定状态。当 时，系统为欠阻尼振荡状态。 增加，将减少系统的振荡，减少超调量；但上升时间、调节时间加大。当 时，系统为临界阻尼状态，这是总能保持系统的输出值小于1的最小阻尼值。当 时，系统为过阻尼状态，在 增加时系统的响应减慢。当自然频率 增加时，系统的响应速度加快但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯一确定。,阻尼比取不同值时二阶系统根的分布及阶跃响应：,54,55,标准二阶系统瞬态响应指标,56,计算举例,例：如图所示二阶系统，求,解：闭环系统的传递函数,57,例：如要使系统的最大超调量为0.2，峰值时间等于1s，确定系统参数k,kn的值，并计算此时系统的上升时间和调节时间（2%误差带）。,解：闭环系统的传递函数,58,解: 系统闭环传递函数为,例 角位置随动系统开环传递函数为 J为系统总,转动惯量，F为系统总摩擦系数，K为系统开环增益，可以通过放大器放大系数实现调整。当J=0.2，F=6.9，试分析开环增益K对系统响应的影响。,二阶系统传递函数标准式,快速性,1，临界阻尼，K(7.71/)2=59.5,0.7，最佳阻尼，K(7.71/0.7)2120,1，过阻尼,K，ts，快速性变好,59,59.5K120，0.71，欠阻尼,K，ts，快速性变好,K120， 00.7,无论K如何变化，快速性不再得以改善，此时，调节时间ts取决于F/J。,平稳性,1，过阻尼,响应没有振荡和超调，平稳性最好。,K，ts，提高快速性,59.5K120，0.71，欠阻尼,峰值时间,60,K80 120 160 200 300 800tp=0.314 0.18 0.14 0.12 0.09 =0.5 4.4 9 13 21 41%,峰值时间,K，tp，% ，系统平稳性变差,59.5K120，0.7119时，K ，% ，但ts不随K变化。,二阶系统开环增益加大使系统平稳性下降，快速性变好，但，开环增益大到一定程度后，快速性并没有什么变化，这时因为K太大后，振荡加聚，反而使平稳性变化。此时，最优K为60K0，K0，闭环系统稳定。,系统误差,r(t)=1+at,系统的稳态误差,系统的稳态误差为零。,87,例 系统结构图。求（1）输入r(t)与干扰d(t)作用下，输出c(t)的拉氏变换；（2） r(t)=6t+4，无干扰时，系统的稳态误差ess();(3)在（2）基础上，加上干扰d(t)=1，求系统的稳态误差ess()。,解：,（1） d(t)=0，,r(t)=0,线性系统的叠加原理，输入与干扰同时作用下的输出为,（2） 输入作用下系统的误差,88,（3）干扰引起的稳态误差,干扰对误差的传递函数为,干扰引起的稳态误差,（4）输入和干扰同时作用下系统的稳态误差,89,采取复合控制策略减小稳态误差,复合控制系统：在控制系统中引入与给定作用和扰动作用有关的附加控制可构成复合控制，可进一步减小给定误差和扰动误差。,图(a)的误差：,顺馈控制系统：,在图(a)的基础上加上环节 ，就构成了顺馈控制系统。,按给定输入补偿的复合控制,90,若满足 则 ，即无输入稳态误差，输出完全复现输入。该式称为给定作用实现完全不变性的条件。,采取复合控制策略减小稳态误差,91,前馈系统（按扰动作用的完全不变性条件设计）,令 ，由于是单位反馈系统，所以误差 。,未加前馈时，图(a),采取复合控制策略减小稳态误差,92,加入前馈后，有：,显然，,这个条件就是对扰动作用实现完全不变性的条件。,但在实际的系统中，有时 是难以实现的。可以采取近似的补偿，以减小扰动稳态误差。,前馈控制系统,93,小结,时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。,2.二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当(如=0.7左右)，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。,3.如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。,4.稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，