自动控制原理-第4章 根轨迹(02)

1,第四章 根轨迹分析法,第一节 根轨迹的基本概念第二节 绘制根轨迹的基本方法第三节 广义根轨迹第四节 用根轨迹法分析系统性能小结,2,1948年, W.R.伊文思首先提出了求解系统特征方程式的根的图解方法（在复平面上由开环零极点确定闭环极点）-根轨迹法。,闭环极点在S平面上的分布位置,闭环控制系统的动态性能,一个或几个参量变化,系统的极点和系统性能的影响,三阶以上的系统,求特征方程式的根困难,利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合,3,根轨迹的基本概念,例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出k:0 时的根轨迹。,4,根轨迹由两条分支组成： 稳定性： 动态性能：稳态性能：,位于左半平面上的特征根实部为负，对应着稳定极点；位于右半平面上的根实部为正，对应着不稳定极点；位于虚轴上的根实部为零，对应着临界极点。,1）K=0，闭环特征根与开环极点重合，即开环极点为根轨迹的起点； 2）时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态； 3）当时，特征根为两个相等的实数根(-1,j0)，系统呈临界阻尼状态。 4）时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部为衰减系数，虚部为振荡频率。,在坐标原点有一个极点，系统是型的，阶跃函数作用下的稳态误差为零。,5,闭环零、极点与开环零、极点的关系,闭环传递函数,开环传递函数,K：根轨迹增益。zi：开环传递函数的零点；pi：开环传递函数的极点。,6,闭环零、极点与开环零、极点的关系,闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益,闭环零点开环前向通路传递函数的零点,反馈通路传递函数的极点,闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。,根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。,7,根轨迹方程,闭环特征方程,根轨迹方程,根轨迹上的点必然满足闭环系统特征方程式,若,则,（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件；（2）由模值条件决定根轨迹上各点相应的K值。,s为复数，根轨迹方程可用如下相角条件和模值条件表示,在测量相角时，规定以逆时针方向为正。,8,解：,用试探法找到满足相角方程的点：（1）在00.5的负实轴区段上任取一点s1,（2）取一点s2=-0.25+j0.25，,满足相角方程，该区段在根轨迹上。,-0.5,0,p1,p2,s1,s2,s2点是根轨迹上的点,9,绘制根轨迹的基本规则,一、根轨迹的分支数二、根轨迹的连续性对称性三、根轨迹的起点和终点四、实轴上的根轨迹段五、根轨迹的渐近线六、根轨迹的出射角和入射角七、根轨迹的分离点和会合点八、根轨迹的分离角与会合角九、根轨迹与虚轴的交点十、开环极点与闭环极点的关系,开环根轨迹增益K（0）时闭环根轨迹的一般规律,10,根轨迹是连续的，且对称于实轴,闭环特征根如果是实数根，则分布在平面的实轴上，如图中的，；如果是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如图中的，。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。,当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当：变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。,绘制根轨迹的基本规则,一. 根轨迹的分支数,阶系统有条根轨迹,二. 根轨迹的连续性和对称性,连续性：当由变化时，特征方程的某些参数也随着连续变化，所以特征根也是连续变化。,对称性：,11,绘制根轨迹的基本规则,三. 根轨迹的起点与终点,起于开环极点，终于开环零点及无穷远,根轨迹起始于K=0，终止于K 。,当K=0时， spj (j=1，2，n)为系统的开环极点；当K时，szi (i=1，2，m)为系统的开环零点。,根轨迹方程,nm，m条根轨迹终止于开环传递函数的零点，另外n-m条？,另外n-m条根轨迹终止于无穷远,12,解 : （1） 根轨迹数：n=3，m=2，3条根轨迹。,（2）起始点：系统的开环极点为 ，,（3）终点：系统的开环零点为 ， 另外n-m=1条根轨迹终止于无穷远。,13,证明：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。,先看试验点s1点：,所以s1点满足根轨迹相角条件，于是p2 ,p1为实轴上的根轨迹。,成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0；,试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180；,再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。,成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,同样s3点也不是根轨迹上的点。,四、实轴上的根轨迹段,实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。,14,例设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。,解：零极点分布如下：,黄线所示为实轴上根轨迹，为：-10，-5和-2，-1 。注意在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。,四、实轴上的根轨迹段,15,五、根轨迹的渐近线,若开环零点数m小于开环极点数n，有n-m条根轨迹终止于无穷远点，其方向由根轨迹的渐进线来确定。,渐近线与实轴的夹角,渐近线与实轴的交点,证明：,（1）渐近线表明的是系统开环增益k趋于无穷时，根轨迹趋向于无穷的方位，即闭环极点趋向于无穷的情况。,s代入相方程,16,五、根轨迹的渐近线,（2）若无穷远点s是根轨迹上的点，则可认为s平面上的所有有限开环零极点到它的矢量长度均相等，即对无穷远闭环极点s来说，所有开环零极点汇成一个点，用a表示，它就是所求渐近线与实轴的交点。,根轨迹方程,代入根轨迹方程,即,由二项式定理,17,五、根轨迹的渐近线,又 根轨迹方程, sn-m-1项系数对应相等,18,设系统开环传递数为,1）开环极点数n=3，开环零点数m=0; 根轨迹有三条分支; 起点：分别起始于0，-1和-2； 终点：无穷远处；2）实轴上根轨迹分布在-以及 -2-之间；3）根轨迹的渐近线： n -m = 3条,五、根轨迹的渐近线,与实轴的交点,与实轴的夹角,19,六、根轨迹的出射角和入射角,出射角（起始角）：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴之间的夹角pl；入射角（终止角） ：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴之间的夹角zk。,出射角（起始角）,入射角（终止角）,计算p1的出射角p1,在离开p1附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：,当s1p1时，1即为离开根轨迹上p1的出射角， 1 p1 ，则：,20,六、根轨迹的出射角和入射角,式中： i为除了p1以外的开环极点到p1 的矢量的相角；i为开环零点到p1的矢量的相角。,p2的出射角应与p1 的出射角关于实轴对称。,同理，在根轨迹的终点z1附近取一点s2，根据相角方程：,当s2z1时，1即为进入根轨迹上z1的入射角， 1 z1 ，则：,s1p1, 1 p1,入射角（终止角）,21,六、根轨迹的出射角和入射角,例 单位反馈系统的开环传递函数为,试画出该系统的根轨迹。,解：1. 根轨迹数： n=4，4条根轨迹；,3. 实轴上的根轨迹段为（01.5）和（2.5）,4.根轨迹的渐近线,n-m=1，故有一条根轨迹趋向无穷，又因为根轨迹必对称实轴，则这条趋向于无穷的根轨迹必在实轴上。,22,5.根轨迹的起始角和终止角, 起始点p2，终止点z2,23,七、根轨迹的分离点和会合点,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。,若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点； 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。,24,七、根轨迹的分离点和会合点,分离点（或会合点）坐标d,证明：由根轨迹方程,根轨迹的分离点说明闭环特征方程有重根d出现。,根据代数中有重根条件，有：,变形,两式相除：,即,25,七、根轨迹的分离点和会合点,代入上式,即,满足上式中的s即为分离点d。,26,七、根轨迹的分离点和会合点,分离点坐标的第二种方法：设系统开环传递函数为,则分离点的坐标是方程,的解,证明:,根轨迹的分离点就是闭环特征方程出现重根之处，因此在分离点处有下式成立,推得,考虑到,上式习惯上表示成,27,实轴上根轨迹区间是：,注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。,显然，分离回合点为-0.4725，而-3.5275不是分离回合点。,解：,闭环特征方程为：,28,例,控制系统开环传递函数为,利用已有的根轨迹绘制规则，画出系统根轨迹并求其分离点。,解,起点为开环极点,根轨迹有4条分支，趋向无限零点。,根轨迹的渐近线,29,实轴上的根轨迹；实轴上0到之间的线段为根轨迹。,根轨迹的分离点,根据上述计算画出的根轨迹如图,30,八、根轨迹的分离角与会合角,根轨迹在s平面上某点相遇时，即闭环出现重极点。分离角：根轨迹离开闭环重极点处的切线与实轴正方向的夹角。汇合角：根轨迹进入闭环重极点处的切线与实轴正方向的夹角。,1.分离角：,例：单位反馈系统，,则1个零点z1=5；3个极点：p1=0,p2=3,p38, 分离点坐标：,d1.66,渐近线与实轴正方向夹角,渐近线与实轴交点的坐标：,31,八、根轨迹的分离角与会合角, kd*为分离点d处开环增益，应用模方程得, kd* 4.22时，系统闭环有有3个特征根，两个重根d，另有一个根为s1。,D(s)=(s-s1)(s-d)2= kd*(s+5)+ s (s+3) (s+8),(s-s1)(s-d)2 =(s-s1)(s-1.66)2 =(s-s1)（s2+3.32s+2.76）=s3+11 s2+28.22s+21.1,采用综合法：,-(s3+3.32s2+2.76s) 7.68s2+25.46s+21.1 -(7.68s2+25.49s+21.6) 0,s+7.68,即 s-s1=s+7.68；s1=-7.68,所以， kd* 4.22时，闭环有3个特征根：s1=-7.68，d2,3=-1.66,32,八、根轨迹的分离角与会合角, 如何求在汇合点d处的分离角,如果有一个新系统开环传递函数：,该系统的零点：z1=-5，极点p1=-1.66, p2=-1.66, p3=-7.68,求原系统G(s)中k*从4.22的根轨迹，相当于新系统kdd*从0 的根轨迹。那么，原系统G(s)在k*4.22的分离角相当于新系统Gd(s)根轨迹的起始角，Gd(s)在d处起始角：,d是分离点坐标，zj是原系统G(s)开环零点，si是原系统G(s)除了l个重极点外的，在k*kd*时，其它(n-l)个闭环极点，即新系统Gd(s)的极点。即k*kd*时,利用综合除法求出si 。,上例中，分离角：,是分离点处根轨迹的分支数（即重根数）,33,八、根轨迹的分离角与会合角,会合角：将根轨迹方程写成另一种形式：,令,取,构造新系统,（1）原系统G(s)的零点称为新系统Ga(s)的极点，原系统G(s)的极点称为新系统Ga(s)的零点。,（2）原系统G(s)的根轨迹k*从0时，新系统Ga(s)根轨迹ka*从0；原系统G(s)的根轨迹k*从04.22时，相当于新系统Ga(s)根轨迹ka*从 1/4.22时的根轨迹。,（3）原系统G(s)的根轨迹k*4.22处，汇合角即为新系统Ga(s)在 ka*1/4.22处的分离角。,34,八、根轨迹的分离角与会合角,pi是新系统的开环零点，即原系统的开环极点；,sj是新系统当ka*1/kd*处的闭环极点，共有(n-l)个，同时也是原系统k*kd*处的闭环极点，共有(n-l)个。,sj的求法：,新系统闭环特征方程,采用综合除法即可求得。,上例中，会合角：,35,九、根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交，说明在某个k，闭环特征方程有纯虚根。,将s=jw代入闭环特征方程,则有：Re1+G(jw)H(jw)0 Im1+G(jw)H(jw)0,由以上2个方程解得未知数w，kw(对应的根轨迹增益),方法二：根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解。,方法一：,36,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。,方法一：将s=jw 代入特征方程,经整理得,解：系统的特征方程为:,37,方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。列劳斯表,又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。,若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此,38,十、开环极点与闭环极点的关系,闭环极点之和,系统闭环特征根为si，则，由闭环特征方程得：,nm2,则有：,即当nm2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。,此时，系统闭环特征根不受开环零点的影响。这一关系可以用来求解：,1）分离点处的闭环极点。,2）用于验证所绘制的根轨迹的正确性。,当nm2时，由于开环极点之和为常数，故，当闭环有一根轨迹右移时，必有其它轨迹左移。以此判断所绘制的根轨迹的正确性。,39,十、开环极点与闭环极点的关系,结论：若满足(n-m) 2，且有开环零点位于原点时，闭环极点之积等于开环极点之积。,闭环极点之积,n个闭环特征根之积为：,若,有,40,绘制根轨迹举例,（1）系统阶次较低（三阶以下）时，求分离点、会合点可用,根轨迹的绘制,求与虚轴的交点可用,（2）系统阶次高时，求分离点、会合点可用,求与虚轴的交点可用劳斯定理。,41,渐近线,例1 开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,绘制根轨迹举例,42,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。,43,渐近线,例2开环传递函数为： ，画根轨迹。,出射角 ，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,44,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。,45,广义根轨迹,参数根轨迹：,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。,广义根轨迹,零度根轨迹：,如果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平面具有开环零极点的控制系统),此时绘制的根轨迹为零度根轨迹.,常规根轨迹:以系统开环增益K由零变化到无穷大时的根轨迹。,广义根轨迹:除开环增益K以外其他情形下的根轨迹,纯滞后环节系统的根轨迹：,46,参数根轨迹,开环传递函数为,闭环特征方程式为,用不含待分析参数的各项除方程两端，得,比较，得等效开环传递函数,P(s)，Q(s)都是复变量s的多项式，K为待分析的参数。,规则：与常规根轨迹绘制方法完全相同。关键点：将控制系统的特征方程进行等效变换，求出等效开环传递函数。,47,参数根轨迹,例 控制系统的结构如图所示。绘制以为参变量的根轨迹并确定阻尼比 =0.5时闭环传递函数。,解,特征方程,以特征方程中不含的项除方程式各项，得,等效开环传递函数为,48,参数根轨迹,等效开环传递函数为,根轨迹的起点为,有1条根轨迹趋于无穷远，渐近线与正实轴夹角为,整个负实轴为根轨迹。,分离点d,49,参数根轨迹,等效开环传递函数为,根轨迹的分离角,起始角,50,参数根轨迹,确定阻尼比 =0.5时闭环传递函数。,过S平面坐标原点作与负实轴成60o的直线与根轨迹相交，得到闭环极点为,时的闭环传递函数为,等效开环传递函数为,=0.8,代入特征方程，可得,51,纯滞后环节的根轨迹,闭环特征方程,开环传递函数,纯滞后环节根轨迹方程,相角条件为,模值条件为,52,纯滞后环节的根轨迹的绘制规则,规则1 根轨迹的起点、终点；,规则2 根轨迹的分支数与对称性,根轨迹有无穷多条分支,对称性：,闭环特征根为实数或共轭复数，故根轨迹对称于实轴。,闭环方程系数为实数，,53,纯滞后环节的根轨迹的绘制规则,规则4 根轨迹的渐近线,部分根轨迹起始于s=- ，所有开环零极点到s=- 的相角为,n-m为奇数，与虚轴的交点坐标,n-m为偶数，与虚轴的交点坐标,K=0,K=,部分根轨迹终止于s= ，所有开环零极点到s= 的相角为0,与虚轴的交点坐标,为平行于实轴的直线,出现在K=0,K= ,54,纯滞后环节的根轨迹的绘制规则,规则5 根轨迹的分离点与会合点,根轨迹的分离点表明闭环特征方程有重根。重根必满足,规则6 根轨迹的起始角和终止角,55,纯滞后环节的根轨迹的绘制规则,规则7 根轨迹与虚轴的交点,s=jw代入相角方程,规则8 因为延迟系统闭环特征方程不是代数方程，所以不存在闭环特征方程根之和与根之积的关系。,规则9 根轨迹上各点对应的 K由幅值条件求得,由幅值方程求根轨迹与虚轴相交时的临界增益K,56,纯滞后环节的根轨迹,例 右图G(s)=1/s,=1,H(s)=1，绘制根轨迹。,解：,特征方程,根轨迹的起点、终点；,根轨迹对称于实轴，且有无穷多条；,根轨迹分离点,(-1, j0),复平面上的根轨迹,s=+jw代入特征方程,57,纯滞后环节的根轨迹,根轨迹渐近线：w=， 2 ，,根轨迹与虚轴的交点,58,用根轨迹法分析系统性能,系统开环零、极点的分布,根轨迹图,分析系统的稳定性，闭环极点分布位置,系统性能随之发生变化的规律,59,用根轨迹法分析系统性能,闭环零、极点表示的阶跃响应解析式,n阶系统的闭环传递函数,r(t)=1(t)，即R(s)=1/s,60,用根轨迹法分析系统性能,闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,要求系统稳定。必须使所有的闭环极点si均位于s平面的左半部。,2. 快速性好,衰减快，则闭环极点应远离虚轴,一阶系统,Ts+1=0,s1=1/T,阶跃响应式c(t)=1es1t1et/T,快速性指标ts=3T,ts，T ,快速性好,二阶系统,01,ts=3/wn,ts，wn,快速性好,即特征根实部绝对值大，即s1，s2远离虚轴,61,用根轨迹法分析系统性能,3. 系统平稳性好,0.707，cos145,闭环极点sk靠近实轴，复数极点最好设置在s平面中与负实轴成45夹角线附近 ，平稳性与快速性都较为理想 。,超过45线，则阻尼比减小，振荡性加剧。,4. 动态过程尽快消失,系数AK小,分母大，分子小,闭环极点pi远离原点，极点之间的距离（skpi）大；零点zj应靠近极点pi,零点的个数总是少于极点个数，故零点应该靠近离虚轴近的极点,5. 主导极点与偶极子,有意识的在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。,工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能，即将系统近似看成是一阶或二阶系统。,62,用根轨迹法分析系统性能,例 某三阶系统闭环传递函数,试估算系统动态性能指标、tS。,解：闭环有三个极点：s1=-1，s2,3=-4j9.2,极点s1距虚轴最近，是主导极点，极点s2,3可忽略不计。,故系统近似看作一阶系统，即,时域分析法：0；tS3T313秒,63,用根轨迹法分析系统性能,例 某三阶系统闭环传递函数,试估算系统动态性能指标、tS。,解：闭环有三个极点：s1=-1，s2,3=-4j9.2,一个零点z11.1,极点s1与零点z1构成偶极子，故主导极点不再是s1，而应为s2,3。,系统近似为二阶系统,wn=10，0.4