一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用.doc

杭州新普发进修学校2012春季周六下午数学讲义（2012.3.3）第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、 内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b24ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么，(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=P，x1x2=q (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1+x2)x+x1x2=0二、 热身练习1已知a、b、c为ABC的三边,且关于x的一元二次方程(cb)x2+2(ba)x+(ab)=0有两个相等的实根,则这个三角形是（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 不等边三角形2关于的一元二次方程的两个根相等，那么等于（ ）或或或或3已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，的值是 。4方程x22x1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x11）（x21）=_。5已知、是一元二次方程x24x3=0的两实数根，则代数式（3）（3）= 6已知一元二次方程的两根为、,则_.7已知一个直角三角形的三边为、，B90，判断关于的方程的根的情况。8已知是方程的两根，求：（1）的值；（2）的值. （3）的值。三、例题分析【例1】在等腰ABC中，三边分别为、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求ABC的周长【例2】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）【例3】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。【例4】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。四、 思维提升1已知方程的两实根差的平方为144，则 。2已知、是方程的两根，则的值为 。3设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_4关于x的方程kx2+(k+2)x+0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0? 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.5已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当m取何值时，y可取得最小值，并求出最小值6关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围； （2）若求的值五、拓展训练1. 若，是方程的两个不相等的实数根，求代数式的值是多少？2若是一元二次方程的根, 则判别式和完全平式的关系 选做题3.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）