2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 1页 共 10页 2014 年全国统一高考数学试卷 文科年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 新课标 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的求的 1 5 分 已知集合 A 2 0 2 B x x2 x 2 0 则 A B A B 2 C 0 D 2 2 5 分 A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 3 5 分 函数 f x 在 x x0处导数存在 若 p f x0 0 q x x0是 f x 的极值点 则 A p 是 q 的充分必要条件 B p 是 q 的充分条件 但不是 q 的必要条件 C p 是 q 的必要条件 但不是 q 的充分条件 D p 既不是 q 的充分条件 也不是 q 的必要条件 4 5 分 设向量 满足 则 A 1B 2C 3D 5 5 5 分 等差数列 an 的公差为 2 若 a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前 n 项和 Sn A n n 1 B n n 1 C D 6 5 分 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1cm 图中粗线画出的是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到 则切削掉部分的体积与原来毛 坯体积的比值为 A B C D 7 5 分 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2 侧棱长为 D 为 BC 中点 则三棱锥 A B1DC1 的体积为 A 3B C 1D 8 5 分 执行如图所示的程序框图 若输入的 x t 均为 2 则输出的 S A 4B 5C 6D 7 9 5 分 设 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的最大值为 A 8B 7C 2D 1 10 5 分 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交于 C 于 A B 两点 则 AB A B 6C 12D 7 11 5 分 若函数 f x kx ln x 在区间 1 单调递增 则 k 的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 12 5 分 设点 M x0 1 若在圆 O x2 y2 1 上存在点 N 使得 OMN 45 则 x0的取值范围是 A 1 1 B C D 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 2页 共 10页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 5 分 甲 乙两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种 则他们选择 相同颜色运动服的概率为 14 5 分 函数 f x sin x 2sin cosx 的最大值为 15 5 分 偶函数 y f x 的图象关于直线 x 2 对称 f 3 3 则 f 1 16 5 分 数列 an 满足 an 1 a8 2 则 a1 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求 C 和 BD 2 求四边形 ABCD 的面积 18 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 证明 PB 平面 AEC 设 AP 1 AD 三棱锥 P ABD 的体积 V 求 A 到平面 PBC 的距离 19 12 分 某市为了考核甲 乙两部门的工作情况 随机访问了 50 位市民 根据这 50 位市民对两 部门的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制的茎叶图如图 分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数 分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于 90 的概率 根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价 20 12 分 设 F1 F2分别是 C 1 a b 0 的左 右焦点 M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴 垂直 直线 MF1与 C 的另一个交点为 N 1 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 2 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 MN 5 F1N 求 a b 21 12 分 已知函数 f x x3 3x2 ax 2 曲线 y f x 在点 0 2 处的切线与 x 轴交点的横坐 标为 2 求 a 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 3页 共 10页 证明 当 k 1 时 曲线 y f x 与直线 y kx 2 只有一个交点 三 选修三 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 22 10 分 如图 P 是 O 外一点 PA 是切线 A 为切点 割线 PBC 与 O 相交于点 B C PC 2PA D 为 PC 的中点 AD 的延长线交 O 于点 E 证明 BE EC AD DE 2PB2 四 选修四 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 23 在直角坐标系 xOy 中 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆 C 的极坐标方 程为 2cos 0 求 C 的参数方程 设点 D 在半圆 C 上 半圆 C 在 D 处的切线与直线 l y x 2 垂直 根据 1 中你得到的参数 方程 求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 4页 共 10页 五 选修五 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 24 设函数 f x x x a a 0 证明 f x 2 若 f 3 5 求 a 的取值范围 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 5页 共 10页 2014 年全国统一高考数学试卷 文科年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 新课标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的求的 1 解答 解 A 2 0 2 B x x2 x 2 0 1 2 A B 2 故选 故选 B 点评 本题考查交的运算 理解好交的定义是解答的关键 2 解答 解 化简可得 1 2i 故选 故选 B 点评 本题考查复数代数形式的化简 分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键 属基础 题 3 解答 解 函数 f x x3的导数为 f x 3x2 由 f x0 0 得 x0 0 但此时函数 f x 单调 递增 无极值 充分性不成立 根据极值的定义和性质 若 x x0是 f x 的极值点 则 f x0 0 成立 即必要性成立 故 p 是 q 的必要条件 但不是 q 的充分条件 故选 故选 C 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的 关键 比较基础 4 解答 解 分别平方得 2 10 2 6 两式相减得 4 10 6 4 即 1 故选 故选 A 点评 本题主要考查向量的基本运算 利用平方进行相加是解决本题的关键 比较基础 5 解答 解 由题意可得 a42 a2 a8 即 a42 a4 4 a4 8 解得 a4 8 a1 a4 3 2 2 Sn na1 d 2n 2 n n 1 故选 故选 A 点评 本题考查等差数列的性质和求和公式 属基础题 6 解答 解 几何体是由两个圆柱组成 一个是底面半径为 3 高为 2 一个是底面半径为 2 高为 4 组合体体积是 32 2 22 4 34 底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为 32 6 54 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 故选 故选 C 点评 本题考查三视图与几何体的关系 几何体的体积的求法 考查空间想象能力以及计算能力 7 解答 解 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2 侧棱长为 D 为 BC 中点 底面 B1DC1的面积 A 到底面的距离就是底面正三角形的高 三棱锥 A B1DC1的体积为 1 故选 故选 C 点评 本题考查几何体的体积的求法 求解几何体的底面面积与高是解题的关键 8 解答 解 若 x t 2 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 6页 共 10页 则第一次循环 1 2 成立 则 M S 2 3 5 k 2 第二次循环 2 2 成立 则 M S 2 5 7 k 3 此时 3 2 不成立 输出 S 7 故选 故选 D 点评 本题主要考查程序框图的识别和判断 比较基础 9 解答 解 作出不等式对应的平面区域 由 z x 2y 得 y 平移直线 y 由图象可知当直线 y 经过点 A 时 直线 y 的截距最大 此时 z 最大 由 得 即 A 3 2 此时 z 的最大值为 z 3 2 2 7 故选 故选 B 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 10 解答 解 由 y2 3x 得其焦点 F 0 准线方程为 x 则过抛物线 y2 3x 的焦点 F 且倾斜角为 30 的直线方程为 y tan30 x x 代入抛物线方程 消去 y 得 16x2 168x 9 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 所以 AB x1 x2 12 故选 故选 C 点评 本题考查抛物线的标准方程 以及简单性质的应用 弦长公式的应用 运用弦长公式是解题 的难点和关键 11 解答 解 f x k 函数 f x kx lnx 在区间 1 单调递增 f x 0 在区间 1 上恒成立 k 而 y 在区间 1 上单调递减 k 1 k 的取值范围是 1 故选 故选 D 点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性 恒成立问题的等价转化方法 属于中档题 12 解答 解 由题意画出图形如图 点 M x0 1 要使圆 O x2 y2 1 上存在点 N 使得 OMN 45 则 OMN 的最大值大于或等于 45 时一定存在点 N 使得 OMN 45 而当 MN 与圆相切时 OMN 取得最大值 此时 MN 1 图中只有 M 到 M 之间的区域满足 MN 1 x0的取值范围是 1 1 故选 故选 A 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 7页 共 10页 点评 本题考查直线与圆的位置关系 直线与直线设出角的求法 数形结合是快速解得本题的策略 之一 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 解答 解 所有的选法共有 3 3 9 种 而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种 故他们选择相同颜色运动服的概率为 故答案为 点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式 属于基础题 14 1 解答 解 函数 f x sin x 2sin cosx sinxcos sin cosx 2sin cosx sinxcos sin cosx sin x 1 所以函数的最大值为 1 故答案为 1 点评 本题考查两角和与差的三角函数 三角函数最值的求解 考查计算能力 15 3 解答 解 法 1 因为偶函数 y f x 的图象关于直线 x 2 对称 所以 f 2 x f 2 x f x 2 即 f x 4 f x 则 f 1 f 1 4 f 3 3 法 2 因为函数 y f x 的图象关于直线 x 2 对称 所以 f 1 f 3 3 因为 f x 是偶函数 所以 f 1 f 1 3 故答案为 3 点评 本题主要考查函数值的计算 利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f x 4 f x 是 解决本题的关键 比较基础 16 解答 解 由题意得 an 1 a8 2 令 n 7 代入上式得 a8 解得 a7 令 n 6 代入得 a7 解得 a6 1 令 n 5 代入得 a6 解得 a5 2 根据以上结果发现 求得结果按 2 1 循环 8 3 2 2 故 a1 故答案为 点评 本题考查了数列递推公式的简单应用 即给 n 具体的值代入后求数列的项 属于基础题 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解答 解 1 在 BCD 中 BC 3 CD 2 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 8页 共 10页 由余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC 在 ABD 中 AB 1 DA 2 A C 由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB ADcosA 5 4cosA 5 4cosC 由 得 cosC 则 C 60 BD 2 cosC cosA sinC sinA 则 S AB DAsinA BC CDsinC 1 2 3 2 2 点评 此题考查了余弦定理 同角三角函数间的基本关系 以及三角形面积公式 熟练掌握余弦定 理是解本题的关键 18 解答 解 证明 设 BD 与 AC 的交点为 O 连结 EO ABCD 是矩形 O 为 BD 的中点 E 为 PD 的中点 EO PB EO 平面 AEC PB 平面 AEC PB 平面 AEC AP 1 AD 三棱锥 P ABD 的体积 V V AB PB 作 AH PB 交 PB 于 H 由题意可知 BC 平面 PAB BC AH 故 AH 平面 PBC 又在三角形 PAB 中 由射影定理可得 A 到平面 PBC 的距离 点评 本题考查直线与平面垂直 点到平面的距离的求法 考查空间想象能力以及计算能力 19 解答 解 由茎叶图知 50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序 排在排在第 25 26 位 的是 75 75 故样本的中位数是 75 所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是 75 50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序 排在排在第 25 26 位的是 66 68 故样本的中位数是 67 所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是 67 由茎叶图知 50 位市民对甲 乙部门的评分高于 90 的比率分别为 故该市的市民对甲 乙两部门的评分高于 90 的概率得估计值分别为 0 1 0 16 由茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大 致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差 说明该市市民对甲部门的评价较高 评价较 为一致 对乙部门的评价较低 评价差异较大 点评 本题主要考查了茎叶图的知识 以及中位数 用样本来估计总体的统计知识 属于基础题 20 解答 解 1 M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直 M 的横坐标为 c 当 x c 时 y 即 M c 若直线 MN 的斜率为 即 tan MF1F2 即 b2 a2 c2 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 9页 共 10页 即 c2 a2 0 则 即 2e2 3e 2 0 解得 e 或 e 2 舍去 即 e 由题意 原点 O 是 F1F2的中点 则直线 MF1与 y 轴的交点 D 0 2 是线段 MF1的中点 设 M c y y 0 则 即 解得 y OD 是 MF1F2的中位线 4 即 b2 4a 由 MN 5 F1N 则 MF1 4 F1N 解得 DF1 2 F1N 即 设 N x1 y1 由题意知 y1 0 则 c 2 2 x1 c y1 即 即 代入椭圆方程得 将 b2 4a 代入得 解得 a 7 b 点评 本题主要考查椭圆的性质 利用条件建立方程组 利用待定系数法是解决本题的关键 综合 性较强 运算量较大 有一定的难度 21 解答 解 函数的导数 f x 3x2 6x a f 0 a 则 y f x 在点 0 2 处的切线方程为 y ax 2 切线与 x 轴交点的横坐标为 2 f 2 2a 2 0 解得 a 1 当 a 1 时 f x x3 3x2 x 2 设 g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知 1 k 0 当 x 0 时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 1 g 0 4 当 x 0 时 令 h x x3 3x2 4 则 g x h x 1 k x h x 则 h x 3x2 6x 3x x 2 在 0 2 上单调递减 在 2 单调递增 在 x 2 时 h x 取得极小值 h 2 0 g 1 k 1 g 0 4 则 g x 0 在 0 有唯一实根 g x h x h 2 0 g x 0 在 0 上没有实根 综上当 k 1 时 曲线 y f x 与直线 y kx 2 只有一个交点 点评 本题主要考查导数的几何意义 以及函数交点个数的判断 利用导数和函数单调性之间的关 系是解决本题的关键 考查学生的计算能力 三 选修三 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 关注公众号 麦田笔墨 获取更多干货 第 10页 共 10页 22 解答 证