高数(下)9.1 基本概念

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第九章 第一节 一 区域 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 机动目录上页下页返回结束 多元函数的基本概念 一 平面点集 1 邻域 点集 称为点P0的 邻域 例如 在平面上 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 点P0的去心邻域记为 机动目录上页下页返回结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 机动目录上页下页返回结束 2 区域 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 机动目录上页下页返回结束 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E 2 聚点 若对任意给定的 点P的去心 机动目录上页下页返回结束 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为E的导集 E的边界点 3 开区域及闭区域 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E E 则称E为闭集 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 机动目录上页下页返回结束 E的边界点的全体称为E的边界 记作 E 例如 在平面上 开区域 闭区域 机动目录上页下页返回结束 整个平面 点集 是开集 是最大的开域 也是最大的闭域 但非区域 机动目录上页下页返回结束 对区域D 若存在正数K 使一切点P D与某定点 A的距离 AP K 则称D为有界域 界域 否则称为无 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 机动目录上页下页返回结束 定义1设非空点集 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义 在D上的n元函数 记作 机动目录上页下页返回结束 例如 二元函数 定义域为 圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 机动目录上页下页返回结束 的图形一般为空间曲面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 三 多元函数的极限 定义2设n元函数 点 则称A为函数 也称为n重极限 当n 2时 记 二元函数的极限可写作 P0是D的聚 若存在常数A 对一 记作 都有 机动目录上页下页返回结束 对任意正数 总存在正数 切 例1设 求证 证 故 总有 机动目录上页下页返回结束 要证 证明思路 1 先写定义域 判断极限点是否为聚点 2 分别计算和3 判断2 计算的结果中 和要满足什么样的函数关系 例2设 求证 证 故 总有 要证 机动目录上页下页返回结束 若当点 趋于不同值或有的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 不存在 例3讨论函数 函数 机动目录上页下页返回结束 例4求 解 一元函数的运算法则适用于多元函数 此函数定义域不包括x 0 则 机动目录上页下页返回结束 仅知其中一个存在 推不出其它二者存在 二重极限 不同 如果它们都存在 则三者相等 例如 显然 与累次极限 但由例3知它在 0 0 点二重极限不存在 例3目录上页下页返回结束 四 多元函数的连续性 定义3设n元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果存在 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称n元函数 机动目录上页下页返回结束 连续 连续 例如 函数 在点 0 0 极限不存在 又如 函数 上间断 故 0 0 为其间断点 在圆周 机动目录上页下页返回结束 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 机动目录上页下页返回结束 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 解 原式 例5 求 例6 求函数 的连续域 解 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 机动目录上页下页返回结束 有 3 多元函数的极限 4 多元函数的连续性 1 函数 2 闭域上的多元连续函数的性质 有界定理 最值定理 介值定理 3 一切多元初等函数在定义区域内连续 机动目录上页下页返回结束 课堂练习 1 设 求 解令 机动目录上页下页返回结束 2 是否存在 解 所以极限不存在 机动目录上页下页返回结束 3 证明 在全平面连续 证 为初等函数 故连续 又 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 机动目录上页下页返回结束 P62题2 称为二次齐次函数 P63题4 P63题5 3 定义域 P6