工程力学-第五章杆件的内力分析与内力图

杆件的内力分析与内力图 第二篇材料力学 工程力学 静力学与材料力学 第五章 杆件在外力作用下 横截面上将产生轴力 剪力 扭矩 弯矩等内力分量 在很多情形下 内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的 研究强度问题 需要知道哪些横截面可能最先发生失效 这些横截面称为危险面 内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面 研究刚度问题虽然没有危险面的问题 但是也必须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的 第五章杆件的内力图 为了确定内力分量最大的横截面 必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样分布的 杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形 本章首先介绍内力分量的正负号规则 然后介绍轴力图 扭矩图和剪力图与弯矩图 重点是剪力图与弯矩图 最后讨论载荷 剪力 弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用 第五章杆件的内力图 基本概念与基本方法 轴力图与扭矩图 剪力图与弯矩图 第五章杆件的内力图 返回首页 基本概念与基本方法 第五章杆件的内力图 确定外力作用下杆件横截面上的内力分量 重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法 这一点与静力分析中的概念和方法相似 但又不完全相同 主要区别在于 在静力分析中只涉及共同系统或单个刚体的平衡 而在确定时 不仅要涉及单个构件以及构件系统的平衡 而且还要涉及构件的局部的平衡 因此 需要将平衡的概念加以扩展和延伸 基本概念与基本方法 整体平衡与局部平衡的概念 内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法 控制面 杆件内力分量的正负号规则 指定截面上内力分量的确定 整体平衡与局部平衡的概念 基本概念与基本方法 弹性杆件在外力作用下若保持平衡 则从其上截取的任意部分也必须保持平衡 前者称为整体平衡或总体平衡 后者称为局部平衡 基本概念与基本方法 整体是指杆件所代表的某一构件 局部是指 可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分 也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段 还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部 等等 基本概念与基本方法 内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法 应用截面法可以证明 当杆件上的外力 包括载荷与约束力 沿杆的轴线方向发生突变时 内力的变化规律也将发生变化 所谓外力突变 是指有集中力 集中力偶作用的情形 分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形 基本概念与基本方法 所谓内力变化规律是指表示内力变化的函数或变化的图线 如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用 则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述 基本概念与基本方法 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡 在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化 基本概念与基本方法 基本概念与基本方法 控制面 根据以上分析 在一段杆上 内力按某一种函数规律变化 这一段杆的两个端截面称为控制面 controlcross section 据此 下列截面均可为控制面 集中力作用点的两侧截面 集中力偶作用点的两侧截面 均布载荷 集度相同 起点和终点处的截面 基本概念与基本方法 外力规律发生变化截面 集中力两侧截面 集中力偶作用点两侧截面 分布荷载的起点和终点处的横截面 基本概念与基本方法 杆件内力分量的正负号规则 基本概念与基本方法 同一位置处左 右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号 基本概念与基本方法 扭矩Mx 扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正 反之为负 弯矩M My或Mz 作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动 或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正 反之为负 基本概念与基本方法 基本概念与基本方法 指定截面上内力分量的确定 基本概念与基本方法 应用截面法可以确定杆件任意横截面上的内力分量 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分 考察其中任意一部分的平衡 由平衡方程求得横截面的内力分量 C 基本概念与基本方法 例题1 一端固定另一端自由的梁 称为悬臂梁 cantileverbeam 梁承受集中力FP及集中力偶MO作用 试确定 截面C及截面D上的剪力和弯矩 C D截面与加力点无限接近 基本概念与基本方法 解 1 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力 2 应用截面法确定C截面上的内力分量 用假想截面将梁C截面处截开 以左边部分为平衡对象 因为外力与梁轴线都在同一平面内 而且没有沿杆件轴线方向的外力作用 所以横截面上没有轴力和扭矩 只有剪力和弯矩两种内力分量 基本概念与基本方法 解 2 应用截面法确定C截面上的内力分量 假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向 根据截开的局部平衡建立平衡方程 所得结果均为正值 这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的 基本概念与基本方法 解 3 应用截面法确定D截面上的内力分量 用假想截面将梁D截面处截开 以左边部分为平衡对象 基本概念与基本方法 解 3 应用截面法确定D截面上的内力分量 假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向 根据截开的局部平衡建立平衡方程 因为D截面无限接近B截面 所以式中 基本概念与基本方法 解 4 讨论 本例中所选择的研究对象都是C D截面以左部分梁 因而需要首先确定左端的约束力 如果以C D截面以右部分梁作为平衡对象 则无需确定约束力 计算过程会更简单些 基本概念与基本方法 轴力图与扭矩图 第五章杆件的内力图 返回首页 轴力图 扭矩图 轴力图 轴力图与扭矩图 轴力图与扭矩图 沿着杆件轴线方向作用的载荷 通常称为轴向载荷 normalload 杆件承受轴向载荷作用时 横截面上只有轴力一种内力分量FN 杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时 则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的 如果杆件上作用有两个以上的轴向载荷 就只有两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是相同的 表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形 称为轴力图 diagramofnormalforce 直杆 A端固定 在B C两处作用有集中载荷F1和F2 其中F1 5kN F2 10kN 试画出 杆件的轴力图 例题2 解 1 确定A处的约束力 A处虽然是固定端约束 但由于杆件只有轴向载荷作用 所以只有一个轴向的约束力FA 求得FA 5kN 由平衡方程 轴力图与扭矩图 解 2 确定控制面 3 应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A B B C处将杆截开 假设横截面上的轴力均为正方向 拉力 并考察截开后下面部分的平衡 在集中载荷F2 约束力FA作用处的A C截面 以及集中载荷F1作用点B处的上 下两侧横截面都是控制面 轴力图与扭矩图 3 应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A B B C处将杆截开 假设横截面上的轴力均为正方向 拉力 并考察截开后下面部分的平衡 求得各截面上的轴力 轴力图与扭矩图 3 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A B B C处将杆截开 假设横截面上的轴力均为正方向 拉力 并考察截开后下面部分的平衡 求得各截面上的轴力 轴力图与扭矩图 3 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A B B C处将杆截开 假设横截面上的轴力均为正方向 拉力 并考察截开后下面部分的平衡 求得各截面上的轴力 轴力图与扭矩图 3 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A B B C处将杆截开 假设横截面上的轴力均为正方向 拉力 并考察截开后下面部分的平衡 求得各截面上的轴力 轴力图与扭矩图 4 建立FN x坐标系 画轴力图 FN x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向 FN坐标轴垂直于x轴 将所求得的各控制面上的轴力标在FN x坐标系中 得到a 和c四点 因为在A 之间以及 C之间 没有其他外力作用 故这两段中的轴力分别与A 或 截面以及C 或 截面相同 这表明a点与点心 之间以及c点之间的轴力图为平行于x轴的直线 于是 得到杆的轴力图 轴力图与扭矩图 轴力图与扭矩图 根据以上分析 绘制轴力图的方法 确定约束力 根据杆件上作用的载荷以及约束力 确定控制面 也就是轴力图的分段点 应用截面法 用假想截面从控制面处将杆件截开 在截开的截面上 画出未知轴力 并假设为正方向 对截开的部分杆件建立平衡方程 确定控制面上的轴力 建立FN x坐标系 将所求得的轴力值标在坐标系中 画出轴力图 轴力图与扭矩图 练习题1 绘制轴力图 扭矩图 轴力图与扭矩图 作用在杆件上的外力偶矩 可以由外力向杆的轴线简化而得 但是对于传递功率的轴 通常都不是直接给出力或力偶矩 而是给定功率和转速 因为力偶矩在单位时间内所作之功即为功率 于是有 其中T为外力偶矩 为轴转动的角速度 P为轴传递的功率 轴力图与扭矩图 考虑到 1kW l000N m s 上式可以改写为 其中功率P的单位为kW n为轴每分钟的转数 用r min表示 轴力图与扭矩图 在扭转外力偶作用下 圆轴横截面上将产生扭矩 确定扭矩的方法也是截面法 即假想截面将杆截开分成两部分 横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系 据此 即可求得扭矩的大小与方向 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩 则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的 并且都等于作用在轴上的外力偶矩 轴力图与扭矩图 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时 轴各段横截面上的扭矩将是不相等的 这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩 扭矩沿杆轴线方向变化的图形 称为扭矩图 diagramoftorsionmoment 绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似 这里不再重复 轴力图与扭矩图 例题3 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中 其中力偶矩的单位为N m 尺寸单位为mm 试 画出圆轴的扭矩图 轴力图与扭矩图 解 1 确定控制面 外加力偶处截面A B C D左右两侧的截面均为控制面 2 应用截面法由平衡方程 确定各段圆轴内的扭矩 轴力图与扭矩图 3 建立Mx x坐标系 画出扭矩图建立Mx x坐标系 其中x轴平行于圆轴的轴线 Mx轴垂直于圆轴的轴线 将所求得的各段的扭矩值 标在Mx x坐标系中 得到相应的点 过这些点作x轴的平行线 即得到所需要的扭矩图 轴力图与扭矩图 练习题2 圆轴上安有5个皮带轮 其中轮2为主动轮 由此输入功率80kW 1 3 4 5均为从动轮 它们输出功率分别为25kW 15kW 30kW 10kW 若圆轴设计成等截面的 为使设计更合理地利用材料 各轮位置可以互相调整 1 请判断下列布置中哪一种最好 A 图示位置最合理 B 2轮与5轮互换位置后最合理 C 1轮与3轮互换位置后最合理 D 2轮与3轮互换位置后最合理 2 画出带轮合理布置时轴的功率分布图 剪力图与弯矩图 第五章杆件的内力图 返回首页 剪力方程与弯矩方程 载荷集度 剪力 弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 一般受力情形下 梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化 描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程 分别称为剪力方程和弯矩方程 为了建立剪力方程和弯矩方程 必须首先建立Oxy坐标系 其中O坐标原点 x坐标轴与梁的轴线一致 坐标原点O一般取在梁的左端 x坐标轴的正方向自左至右 y坐标轴铅垂向上 剪力图与弯矩图 建立剪力方程和弯矩方程时 需要根据梁上的外力 包括载荷和约束力 作用状况 确定控制面 从而确定要不要分段 以及分几段建立剪力方程和弯矩方程 确定了分段之后 在每一段中任意取一横截面 假设这一横截面的坐标为x 然后从这一横截面处将梁截开 并假设所截开的横截面上的剪力FQ x 和弯矩M x 都是正方向 最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程 即可得到剪力FQ x 和弯矩M x 的表达式 这就是所要求的剪力方程FQ x 和弯矩方程M x 剪力图与弯矩图 需要特别注意的是 在剪力方程和弯矩方程中 x是变量 而FQ x 和M x 则是x的函数 这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的内力分量的方法和过程是相似的 所不同的 现在的指定横截面是坐标为x的横截面 剪力图与弯矩图 一端为固定铰链支座 另一端为辊轴支座的梁 称为简支梁 simplesupportedbeam 梁上承受集度为q的均布载荷作用 梁的长度为2l 试写出 该梁的剪力方程和弯矩方程矩图 例题4 剪力图与弯矩图 解 1 确定约束力 因为只有铅垂方向的外力 所以支座A的水平约束力等于零 又因为梁的结构及受力都是对称的 故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同 于是 根据平衡条件不难求得 剪力图与弯矩图 解 2 确定控制面和分段 因为梁上只作用有连续分布载荷 载荷集度没有突变 没有集中力和集中力偶的作用 所以 从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述 因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程 3 建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点 建立Oxy坐标系 剪力图与弯矩图 解 4 确定剪力方程和弯矩方程 由左段梁的平衡条件 以A B之间坐标为x的任意截面为假想截面 将梁截开 取左段为研究对象 在截开的截面上标出剪力FQ x 和弯矩M x 的正方向 剪力图与弯矩图 解 4 确定剪力方程和弯矩方程 由左段梁的平衡条件 得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为 这一结果表明 梁上的剪力方程是x的线性函数 弯矩方程是x的二次函数 剪力图与弯矩图 例题5 悬臂梁在B C二处分别承受集中力FP和集中力偶M 2FPl作用 梁的全长为2l 试写出 梁的剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图 解 1 确定控制面和分段 本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程 因此可以不必确定左端的约束力 2 建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点 建立Oxy坐标系 由于梁在固定端A处作用有约束力 自由端B处作用有集中力 中点C处作用有集中力偶 所以 截面A B C均为控制面 因此 需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程 剪力图与弯矩图 解 3 建立剪力方程和弯矩方程 在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将其截开 并在截开的横截面上 假设剪力FQ x1 FQ x2 和弯矩M x1 M x2 都是正方向 然后考察截开的右边部分梁的平衡 由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图 解 3 建立剪力方程和弯矩方程 对于AC段梁的剪力和弯矩方程 在x1处截开后 考察右边部分的平衡 根据平衡方程 剪力图与弯矩图 解 3 建立剪力方程和弯矩方程 得到AC段的剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 解 3 建立剪力方程和弯矩方程 得到CB段的剪力方程与弯矩方程 上述结果表明 AC段和CB段的剪力方程是相同的 弯矩方程不同 但都是x的线性函数 对于CB段梁的剪力和弯矩方程 在x2处截开后 考察右边部分的平衡 根据平衡方程 剪力图与弯矩图 练习题3 试求图示各梁中指定截面上的剪力 弯矩值 载荷集度 剪力 弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 作用在梁上的平面载荷 如果不包含纵向力 这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力 表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线 分别称为剪力图 diagramofshearingforce 和弯矩图 diagramofbendingmoment 剪力图与弯矩图 绘制剪力图和弯矩图有两种方法 第一种方法是 根据剪力方程和弯矩方程 在FQ x和M x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值 得到相应的点 然后按照剪力和弯矩方程的类型 绘制出相应的图线 便得到所需要的剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 绘制剪力图和弯矩图的第二种方法 先在FQ x和M x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值 然后应用载荷集度 剪力 弯矩之间的微分关系 确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状 无需首先建立剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图 即不用求得一次曲线方程或者二次曲线方程 只要利用关键点的值和微分关系就可以绘制出相应的图 根据相距dx的两个横截面截处微段的平衡 可以得到载荷集度 剪力 弯矩之间存在下列的微分关系 剪力图与弯矩图 将FQ x 对x求一次导数 将M x 对x求一次和二次导数 得到 剪力图与弯矩图 由例题4的结果进行讲解 式中等号右边的负号 是由于作用在梁上的均布载荷是向下的 因此 规定 对于向上的均布载荷 微分关系式中的载荷集度q为正值 对于向下的均布载荷 载荷集度q为负值 剪力图与弯矩图 上述微分关系 说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度 弯矩图在某一点处斜率等于对应截面处剪力的数值 如果一段梁上没有分布载荷作用 即q 0 这一段梁上剪力的一阶导数等于零 弯矩的一阶导数等于常数 因此 这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线 弯矩图为斜直线 剪力图与弯矩图 如果一段梁上作用有均布载荷 即q 常数 这一段梁上剪力的一阶导数等于常数 弯矩的一阶导数为x的线性函数 因此 这一段梁的剪力图为斜直线 弯矩图为二次抛物线 弯矩图二次抛物线的凸凹性 与载荷集度q的正负有关 当q为正 向上 时 抛物线为凹曲线 凹的方向与M坐标正方向一致 当q为负 向下 时 抛物线为凸曲线 凸的方向与M坐标正方向一致 剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 载荷集度 剪力 弯矩之间的微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法 与绘制轴力图和扭矩图的方法大体相似 但略有差异 主要步骤如下 根据载荷及约束力的作用位置 确定控制面 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 建立FQ x和M x坐标系 并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中 得到若干相应的点 应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的图线 得到所需要的剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 简支梁受力的大小和方向如图示 例题6 试画出 其剪力图和弯矩图 并确定剪力和弯矩绝对值的最大值 解 1 确定约束力 求得A F二处的约束力FAy 0 89kN FFy 1 11kN 根据力矩平衡方程 剪力图与弯矩图 解 2 确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面 即A B C D E F各截面均为控制面 3 建立坐标系建立FQ x和M x坐标系 C D E 剪力图与弯矩图 F 5 根据微分关系连图线因为梁上无分布载荷作用 所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线 弯矩M图形均为斜直线 于是 顺序连接FQ x和M x坐标系中的a b c d e f各点 便得到梁的剪力图与弯矩图 解 4 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值 并将其标在FQ x和M x坐标系中 FRA FRB B a 剪力图与弯矩图 F 5 确定剪力与弯矩的最大绝对值 FRA a 从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为 发生在EF段 发生在D E截面上 剪力图与弯矩图 从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等 因而这两段内的弯矩图具有相同的