高中全程复习方略配套课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 三年8考高考指数 1 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系 特别是直线与圆相切是高考的重点 2 常与直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的几何性质结合 重点考查用待定系数法求直线与圆的方程 3 题型以选择题和填空题为主 属中低档题目 有时与其他知识点交汇在解答题中出现 1 直线与圆的位置关系 1 从方程的观点把圆的方程与直线的方程联立组成方程组 转化成一元二次方程 利用判别式 判断位置关系 2 从几何的观点利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系 即时应用 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的 条件 2 已知点M x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y r2与此圆的位置关系是 解析 1 当k 1时 圆心到直线的距离此时直线与圆相交 若直线与圆相交 则解得 所以 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的充分不必要条件 2 因为点M x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内的一点 所以x20 y20 r2 圆心到直线x0 x y0y r2的距离所以直线与圆相离 答案 1 充分不必要 2 相离 2 圆与圆的位置关系设圆O1 x a1 2 y b1 2 r21 r1 0 圆O2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 即时应用 1 思考 若两圆相交时 公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系 提示 两圆的方程作差 消去二次项得到关于x y的二元一次方程 就是公共弦所在的直线方程 2 判断下列两圆的位置关系 x2 y2 2x 0与x2 y2 4y 0的位置关系是 x2 y2 2x 4y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的位置关系是 x2 y2 4x 2y 4 0与x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系是 解析 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 所以 两圆圆心距而两圆的半径之和r1 r2 1 2 3 两圆的半径之差r2 r1 2 1 1 所以r2 r1 O1O2 r1 r2 即两圆相交 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 x 2 2 y 2 2 9 所以 两圆圆心距 O1O2 而两圆的半径之和r1 r2 2 3 5 O1O2 r1 r2 即两圆外切 因为两圆的方程可化为 x 2 2 y 1 2 9 x 2 2 y 1 2 1 所以 两圆圆心距 O1O2 而两圆的半径之差r1 r2 3 1 2 O1O2 r1 r2 即两圆内切 答案 相交 外切 内切 直线与圆的位置关系 方法点睛 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 将直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程 2 求上述方程的判别式 并判断其符号 3 得出结论 2 几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 求出圆心到直线的距离d 2 判断d与半径的大小关系 3 得出结论 提醒 如果能判断直线过定点 则可由定点到圆心的距离 即点在圆内 圆上 圆外 判断直线与圆的位置关系 小于半径相交 等于半径相切或相交 大于半径相交 相切 相离都有可能 例1 1 2012 铜陵模拟 直线ax y 2a 0与圆x2 y2 9的位置关系是 A 相离 B 相交 C 相切 D 不确定 2 2012 榆林模拟 过点P 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 3 若经过点A 4 0 的直线l与圆 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 解题指南 1 判断直线与圆的位置关系 可比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小或利用直线所过定点的位置来判断 2 因为已知直线过点P 2 4 所以确定直线方程还需直线的斜率 可利用圆心到直线的距离等于半径 求得斜率 进而求出直线方程 3 直线与圆有公共点 即直线与圆相交或相切 利用圆心到直线的距离小于等于半径即可 规范解答 1 选B 方法一 圆心到直线的距离 直线与圆相交 方法二 直线a x 2 y 0过定点 2 0 而点 2 0 在圆x2 y2 9内 直线与圆相交 2 当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即 kx y 4 2k 0 因为直线与圆相切 所以 圆心到直线的距离等于半径 即 解得 k 所以所求切线方程为 x y 4 2 0 即 4x 3y 4 0 答案 x 2或4x 3y 4 0 3 由题可设直线方程为y k x 4 即 kx y 4k 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 解得 答案 互动探究 将本例 3 中条件 经过点A 4 0 的直线l 改为 在y轴上截距为 2的直线l 其他条件不变 结论如何 解析 由题可设直线方程为y kx 2 即 kx y 2 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 解得 反思 感悟 1 已知直线与圆的位置关系求解其他未知量 一般有以下两种方法 方法一 几何法 利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解 方法二 代数法 联立直线方程与圆的方程 利用方程组的解来解决 2 求切线方程时 要注意讨论直线的斜率不存在的情况 否则容易漏解 变式备选 已知圆C x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 1 是否存在一点A 对于任意的实数m 直线l恒过A点 若有 请说明理由 并求出A点坐标 2 证明 对于任意m R 直线l一定与圆C相交 3 求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程 解析 1 因为直线l的方程 2m 1 x m 1 y 7m 4 0可化为 x y 4 m 2x y 7 0 所以 该直线一定过直线x y 4 0与直线2x y 7 0的交点 即A 3 1 2 因为直线l过定点A 3 1 而圆心坐标为C 1 2 所以所以直线l一定与圆C相交 3 要使直线l与圆C所截得的弦长最短 则直线l与AC垂直 而所以kl 2 因此直线l的方程为 y 1 2 x 3 即2x y 5 0 圆心到直线l的距离为弦长的最短长度为 与圆有关的弦长 中点问题 方法点睛 直线被圆截得弦长的求法 1 代数方法 直线方程与圆的方程联立 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 2 几何法 设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为l 则有 例2 在平面直角坐标系xOy中 已知圆C1 C2的方程分别为 x 3 2 y 1 2 4和 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点A 4 0 且被圆C1截得的弦长为求直线l的方程 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2 它们分别与圆C1和圆C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点P的坐标 解题指南 1 本题求直线方程 因为直线过点A 4 0 所以只差直线的斜率 因此可利用条件求斜率 2 因为两直线都过同一点P a b 设其中一条直线的斜率为k 由垂直及弦长相等 即可求出点P 规范解答 1 由于直线x 4与圆C1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 因为直线l被圆C1截得的弦长为所以由点到直线的距离公式得 从而k 24k 7 0 即k 0或直线l的方程为y 0或7x 24y 28 0 2 设点P a b 满足条件 由题不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2的方程为因为圆C1和圆C2的半径相等 及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 从而1 3k ak b 5k 4 a bk或1 3k ak b 5k 4 a bk 即 a b 2 k b a 3或 a b 8 k a b 5 因为k的取值有无穷多个 所以解得 这样的点P只可能是点当k 0时 对于P1点 P2点经验证符合题意 综上可得 P点的坐标为 反思 感悟 1 本题第一问是求直线方程 只需两个条件 题设中已知一点 只需斜率即可 该问题易忽略斜率不存在的情况 2 解答第二问要注意存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2 说明弦长相等与斜率值无关 利用斜率存在 且不为0 的情况求出点P 注意验证斜率不存在的情况也满足条件 变式训练 已知圆C过点 1 0 且圆心在x轴的正半轴上 直线l y x 1被圆C所截得的弦长为 则过圆心且与直线l垂直的方程为 解析 设所求直线的方程为x y m 0 圆心 a 0 由题意知 解得a 3或a 1 又因为圆心在x轴的正半轴上 a 3 故圆心坐标为 3 0 而直线x y m 0过圆心 3 0 3 0 m 0 即m 3 故所求直线的方程为x y 3 0 答案 x y 3 0 变式备选 直线截圆x2 y2 4得到的劣弧的弧长为 A B C D 解析 选C 因为圆x2 y2 4的圆心坐标为 0 0 圆心到直线的距离而圆的半径为2 所以该直线截圆所得弦长为所以劣弧所对的圆心角为所以劣弧所对的弧长为 圆与圆的位置关系 方法点睛 1 两圆公切线的条数2 判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系 可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解 0 1 2 3 4 提醒 利用两圆所组成的方程组的解的个数 不能判断内切与外切 外离与内含 例3 已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0和x2 y2 10 x 12y m 0 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 此时公切线方程是什么 3 求m 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解题指南 1 两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和 2 两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值 公切线为两圆的方程之差所得的直线方程 3 两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程 弦长可用几何法求解 规范解答 两圆的标准方程为 x 1 2 y 3 2 11 x 5 2 y 6 2 61 m 圆心分别为M 1 3 N 5 6 半径分别为 1 当两圆外切时 2 当两圆内切时 因定圆的半径小于两圆的圆心距5 因此 有因为所以两圆公切线的斜率一定为设切线方程为则有 解得 容易验证当时 直线与后一圆相交 故所求公切线方程为即 3 两圆的公共弦所在直线的方程为 x2 y2 2x 6y 1 x2 y2 10 x 12y 45 0 即4x 3y 23 0 所以公共弦的长为 反思 感悟 1 解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解 2 当两圆相交时 其公共弦方程可利用两圆的一般方程相减得到 变式训练 设圆C2经过点A 4 1 且与圆C1 x2 y2 2x 6y 5 0切于点B 1 2 求圆C2的方程 解析 由平面几何知识可知 C1 B C2三点共线 又BC1的方程为 x 2y 5 0 AB的垂直平分线方程为 x y 2 0 由得即C2 3 1 又 C2A 所以r 圆C2的方程为 x 3 2 y 1 2 5 创新探究 直线与圆的位置关系的创新命题 典例 2011 江苏高考 集合A x y x 2 2 y2 m2 x y R B x y 2m x y 2m 1 x y R 若A B 则实数m的取值范围是 解题指南 本题考查的是直线与圆的位置关系 解题的关键是找出集合所代表的几何意义 然后结合直线与圆的位置关系 求得实数m的取值范围 规范解答 A B A m2 m 或m 0 显然B 要使A B 只需圆 x 2 2 y2 m2 m 0 与x y 2m或x y 2m 1有交点 即或又 m 或m 0 当m 0时 2 0 不在0 x y 1内 综上所述 满足条件的m的取值范围为 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 广东高考 已知集合A x y x y为实数 且x2 y2 1 B x y x y为实数 且y x 则A B的元素个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选C A B的元素个数等于圆x2 y2 1与直线y x的交点个数 显然有2个交点 2 2011 江西高考 若曲线C1 x2 y2 2x 0与曲线C2 y y mx m 0有四个不同的交点 则实数m的取值范围是 A B 0 0 C D 解析 选B 如图 C1 x 1 2 y2 1 C2 y 0或y mx m m x 1 当m 0时 C2 y 0 此时C1与C2显然只有两个交点 当m 0时 要满足题意 需圆 x 1 2 y2 1与直线y m x 1 有两交点 当圆与直线相切时 m 即直线处于两切线之间时满足题意 则 m 0或0 m 3 2012 西安模拟 已知圆 x 3 2 y 5 2 36和点A 2 2 B 1 2 若点C在圆上且 ABC的面积为则满足条件的点C的个数是 A 1 B 2 C 3