高等代数作业

高 等 代 数 作 业 （2011 年 春 季 学 期 ）要求：1. 作业必须写出全部求解过程。计算题必须写出全部 计算过程；证明题必须写出全部证明步骤。不能只写答案。 2要独立完成作业，不要抄别人的作业， 不要抄高等代数教程习题集的答案。 3不许抄袭或复制前几个学期的习题解答。 4. 键入数学公式，可用数学软件Mathtype .作 业 第一章 行 列 式1. 教材习题 1. 3 第 5（2） 题 2. 教材习题 1.4 （1） 第 4 题3. 教材习题 1.6 第 1 （3），3 ， 5 题 4. 复 习 题 1 第 4， 6 题 第二章 线 性 方 程 组 1. 教材习题 2.1 第 1 （4）题2. 教材习题 2.2（2） 第 1 (3) , 3 题 3. 教材习题 2.5 （2） 第 3 题 4. 教材习题 2.5 （3） 第 4 ，5 题5. 教材习题 2.7（1） 第 2 题6. 教材习题 2.7 （2） 第 1 （2） 题 7. 教材习题 2.7 （3） 第 1 （2），3 题 8. 复 习 题 2 第 10 题第三章 矩 阵 1. 教材习题 3.1 （2） 第5 （4） 题2. 教材习题 3.2 第 5 ，6 题3. 教材习题 3.3 第 2 （5） 题4. 教材习题 3.4 第 5 （3） 题5. 教材习题 3.5 第 9 题 6. 复 习 题 3 第 10 , 11 ， 15 题 第四章 矩 阵 的 对 角 化1. 教材习题 4.1 第 4 题2. 教材习题 4.2 第 1 （4）题 3. 教材习题 4.3 第 2（1）（2） ，4 题 4. 教材习题 4.4 第 1 （ 3 ） 题 5. 复 习 题 4 第 4 ， 8 题 第五章 二 次 型 1. 教材习题 5.1 第 1 ，4 （1） （2） 题 2. 教材习题 5.2 第 2 题 3. 教材习题 5.3 第 5 题4. 教材习题 5.5 第 3 ， 6 题4. 复 习 题 5 第 11 ，12 题 作 业 第一章 行 列 式1. 教材习题 1.4 （1） 第 1（5） 题 1.（5）计算下列行列式 解： (第1列减第2列,第3列减第4列) = (第2行减第1行,第4行减第3行) = (第3行减第2行) =2. 教材习题 1.4（2） 第 2 题 计算下列行列式3. 教材习题 1.6 第 3 ， 5 ， 6 题 第6题 - 计算2n阶行列式 D= 解: D 4. 复 习 题 1 第 4， 5 ， 6 题 第4题计算行列式 第5题 -计算行列式 解： (将各列均加到第1列) (对第1列展开)(这是(n-1)阶下三角形行列式) 第二章 线 性 方 程 组 1. 教材习题 2.1 第 1 （1）题2. 教材习题 2.2（2） 第 1 （3） ，3 题3. 教材习题 2.5 （2） 第 2 题 4. 教材习题 2.5 （3） 第 5 题设向量组 可以由向量组 线性表出，求证： 证：设向量组的秩为 ：，取它的一个极大线性无关组 ；设向量组的秩为 ：，取它的一个极大线性无关组。 因向量组与它的极大线性无关组等价，故与等价，与等价。由题设向量组可由 线性表出，根据等价关系的传递性，可由线性表出，因线性无关，所以 ，即 。5. 教材习题 2.7（1） 第 3 题6. 教材习题 2.7 （2） 第 1 （1） 题 7. 教材习题 2.7 （3） 第 1 （2） 题 8. 复 习 题 2 第 7 ，10 题第 10 题证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即 ，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组 （ I ） 因可由线性表出，那么向量组（ I ）可由线性表出。又因是向量组（ I ）的部分组，则可由向量组（ I ）线性表出。于是向量组（ I ）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而 。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（ I ）的线性无关部分组。但向量组（ I ）的秩也为，那么从向量组（ I ）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是向量组（ I ）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（ I ）可由线性表出，从而与向量组（ I ）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。第三章 矩 阵 1. 教材习题 3.1 （2） 第5 （4） 题2. 教材习题 3.2 第 5 ，6 题第6题- 设 A ，B 都是 n 阶矩阵，试证：如果 AB0，那么 。证：设n阶矩阵A,B的秩分别为 ，并记 。设B的列向量组为，则有 ，即 （）故B 的任何一个列向量 （）都是齐次方程组 的解，都可由齐次方程组 的基础解系线性表出，于是 由此得 。3. 教材习题 3.3 第 4 题4. 教材习题 3.4 第 5 （1） 题5. 教材习题 3.5 第 9 题 习题 3.5 9 . 求与向量组(1,0,1,1) ,(1,1,1,-1) ,(1,2,3,1)等价的正交单位向量组.解: 记 , , ,分别取它们的前3个分量,得 ,.由于 ,故 线性无关. 每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故 线性无关.下面用Schmidt正交化方法,求与等价的正交单位向量组.正交化- 令 =() 再把单位化: =() , 是与等价的正交单位向量组.6. 复 习 题 3 第 10 , 15 题 10. 设是一个阶矩阵（），试证： 解：当 时，可逆，。因 ，两边取行列式，得 ，则有 ，故 。 当 时， 的非零子式的最高阶数为 ，从而 这表明，的列向量组都是齐次方程组 的解，故的列向量组可由 的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是 。 但因 的非零子式的最高阶数为，则矩阵的元素 的代数余子式中至少有一个不为零，故 。 当 时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，故 。第四章 矩 阵 的 对 角 化6. 教材习题 4.1 第 4 题7. 教材习题 4.2 第 1 （4）题 1. 求下列复系数矩阵的特征值和特征向量。（4）解：特征多项式特征值 当时，求的基础解系：因此得一般解： （X3为自由未知量）因，基础解系含两个独立解，取分别为（1，0），（0，1）得基础解系 属于特征值的特征向量为 当时，求的基础解系：一般解： （X3为自由未知量）基础解系为 属于特征值的特征向量为 8. 教材习题 4.3 第 2（1）（2） ，4 题 第2题-2.设分别是A属于的特征向量，而且，试证： （1）线性无关；（2）不可能是A的特征向量。证：已知1. 为证明线性无关，考察用A左乘式（a），得 (b)用乘式（a）： (c)式（c）减式（b）,得 因特征向量 于是由式（a）得， 但 故线性无关。2. 为证明不是A的特征向量，用反证法。设是A的特征向量，那么有但二式相减，得但前面已证明线性无关，故有但这与题设矛盾，所以不是A的特征向量。，第4题- 是一个3阶方阵。已知它的特征值为 ， 的属于特征值的特征向量依次为 ： ， 求 矩阵 。 解：的属于不同特征值的特征向量 线性无关，则可对角化，以 为列向量组构成可逆矩阵：则有 ，于是 。先求 ： ， 故于是 9. 教材习题 4.4 第 1 （ 1 ） 题 10. 复 习 题 4 第 4 ， 8 题 4. 试证：矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零。证：必要性因A可逆，则,欲证A的特征值均不为0，用反证法，设A有一个特征值，那么它是A的特征多项式的根，从而有 由此得，这与A可逆相矛盾。所以，A的特征值均不为0。充分性：A的特征值均不为0，则A的特征多项式没有零根。由4.2知，A的特征多项式它没有零根，则，故A可逆。第五章 二 次 型 1. 教材习题 5.1 第 1 ，4 （1） （2） 题 习题 5.1 1. 证明: 合同于 证: 将的第1,2列互换,第1,2行互换,再将第2,3列互换,第2,3行互换,得.上述初等变换可由初等矩阵的左乘,右乘来实现,即 = = =其中 是可逆矩阵,故 合同于 2. 教材习题 5.2 第 2 题 3. 教材习题 5.3 第 5 题4. 教材习题 5.5 第 3 ， 6 题3 . 试证: 如果 A是正定矩阵，那么 A的主子式全大于零。证：取阶矩阵A的任意一个 阶（）主子式 为证明，将矩阵A的第1行与第行互换，第1列与第列互换；将A的第2行与第行互换，第2列与第列互换；直至第行与第行互换，第列与第列互换。即进行下列初等变换： A经上述变换后，变为矩阵B，又因，故有 B 令C，则C是可逆矩阵，于是由 B，可知A与B合同。因合同变换不改变矩阵的正定性，故由A的正定可知B正定，而是B的阶顺序主子式，故 （）所以，正定矩阵A的主子式全大于零。4. 复 习 题 5 第 10