2018-2019学年永州市高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.2平面内，一个动点，两个定点，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线【答案】D【解析】根据双曲线的定义，对动点的轨迹进行判断，由此确定正确选项.【详解】两个定点的距离为,当时，点的轨迹为双曲线的一支；当时，点的轨迹为射线；不存在的情况.综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题.3双曲线的焦距是（ ）AB4C8D与有关【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程根据公式，求出的值，进而可求焦距.详解：由双曲线可得，焦距，故选C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.4向量，下列结论正确的是（ ）ABCD以上都不对【答案】C【解析】先由题中向量的坐标，得到，进而可判断出结果.【详解】因为，所以，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直与向量共线的坐标表示，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.5椭圆的一个焦点是，那么（ ）A5B25C-5D-25【答案】B【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得，由此列方程求得的值.【详解】椭圆的标准方程为，由于椭圆焦点为，故焦点在轴上，且.所以，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题.6过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（ ）ABCD【答案】B【解析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，由此可得出的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，由于点、均在抛物线上，则，得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦所在直线的性质，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法求解，考查运算求解能力，属于中等题.7如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设出边长，求得的坐标，利用向量夹角公式，求得异面直线所成角的余弦值.【详解】设，所以，所以.设异面直线与直线所成角为，则.故选：C【点睛】本小题主要考查空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，属于基础题.8 已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为ABCD【答案】B【解析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.【详解】在正四面体中，点、分别是、的中点 则= 因为是正四面体，所以 即所以= 故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.9已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.10对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若AB=AC，BD=CD，则BCAD； 若AB=CD，AC=BD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD；其中正确的命题的序号是( ) A B C D 【答案】D【解析】11已知双曲线的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p( )A1BC2D3【答案】C【解析】双曲线的方程为双曲线的渐近线的方程为抛物线的准线方程是双曲线的渐近线与抛物线准线相交的，两点的纵坐标分别是双曲线的离心率为，两点的纵坐标分别是又的面积为，轴是的平分线故选C.点睛：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出，两点的纵坐标，结合对称性列出三角形的面积也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨. 12设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离等于，则该双曲线的离心率是（ ）ABC2D【答案】A【解析】依题意求得的坐标，求得直线的方程，联立的方程求得点坐标，根据到直线的距离等于列方程，由此求得双曲线的离心率.【详解】依题意可知，所以，所以直线：，直线：， -并化简得.由于到直线的距离等于，直线方程为，所以，化简得，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13若“，”是真命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】根据的范围，求得的范围，由此求得的取值范围.【详解】当时，由于“，”是真命题，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据特称命题的真假性求参数，考查正切函数在给定区间的值域，考查存在性问题的求解，属于基础题.14椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为_.【答案】【解析】根据题意，由椭圆的标准方程可得的值，由椭圆的几何性质可得的值，由椭圆的定义，得，在中利用余弦定理，即可求解.【详解】根据题意，椭圆的标准方程，可得，则，则有,由椭圆的定义，可得，又由，则，则.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆的定义，三角形的余弦定理等知识点的综合应用，同时利用椭圆的定义求出的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15平面四边形中，且，现将沿对角线翻折成，当平面平面时，则直线与平面所成角的正切值为_.【答案】【解析】根据面面垂直的性质定理作出直线与平面所成角，解直角三角形求得线面角的正切值.【详解】折叠前，由于，且，根据等腰三角形的性质可知，设交点为，则，.折叠后，而平面平面，由面面垂直的性质定理可知平面，所以直线与平面所成角为，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查面面垂直的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.16过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于、两点，与准线交于点，若，则_.【答案】【解析】根据抛物线的定义和求得直线的斜率，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用弦长公式求得.【详解】焦点坐标为.画出图像如下图所示，作垂直准线交准线于，根据抛物线的定义可知，由于，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查直线斜率的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17已知命题：关于的不等式的解集为，命题：函数是减函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据指数型函数单调性列不等式，由此求得的取值范围.（2）由于“为真命题，为假命题”，所以和中一真一假.由此按“真假”和“假真”两种情况进行分类讨论，求得实数的取值范围.【详解】（1）由于是减函数，所以，.（2）由（1）知，命题为真命题时，.命题为真命题时，所以.又由于为真，为假，所以和中一真一假.当“真假”，不存在.当“假真”时，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查指数型函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.18如图所示，在直三棱柱中，是棱的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】（1）通过证明平面来证得.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.【详解】（1）根据直三棱柱的性质有平面，所以，由于，所以平面，所以.（2）由（1）得两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示.所以，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为.设直线直线与平面所成角为，则.【点睛】本小题主要考查利用线面垂直证明显现垂直，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19直线与双曲线相交于不同的两点A,B.（1）求实数的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由直线与双曲线，消去，利用判别式大于零得不等式，解出即可；（2）以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值【详解】解：（1）由直线与双曲线，得，所以，解得；（2）以线段为直径的圆经过坐标原点，设，则，即，即，整理得，符合条件，【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题20如图，在多面体中，四边形是菱形，四边形是直角梯形，.（）证明：平面.（）若平面平面，为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（I）见解析；（II）【解析】（）取的中点，连接，结合已知条件，得四边形为平行四边形，进而得为平行四边形，由线面平行的判定定理得CE平面ADF（）取CD中点N，以A为原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值【详解】（）取的中点，连接，如图所示，因为，四边形是直角梯形，得且，所以四边形为平行四边形，即且.又因为四边形是菱形，所以，进而，得为平行四边形，即有，又平面，平面，所以平面.（）取的中点，在菱形中，可得.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为坐标原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.故，.设平面的一个法向量为，则有即令可得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角为，则,即所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题21已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且 （1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）设直线l的方程为xmy+1，与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示，从而求得p的值；（2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算OAB的面积S1，同理求出OPQ的面积S2，再求的值【详解】（1）设直线：，与联立消得，.设，则，.因为，所以，解得.所以抛物线的方程为.（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.原点到直线的距离，所以.因为直线过点且，所以.所以.即为定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题22在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，直线的斜率为，点，在椭圆上，其中是椭圆上一动点，点坐标为.（1）求椭圆的标准方程；（2）作直线与轴垂直，交椭圆于，两点（，两点均不与点重合），直线，与轴分别交于点，试求的最小值.【答案】(1) (2)4【解析】（1）根据直线的斜率求得的关系式，结合在椭圆上列方程，求得的值，进而求得椭圆标准方程