高数解题技巧

高数解题技巧。 高数（上册） 高数（上册）期末复习要点 第一章： 第一章：1、极限 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加 C ） 定积分：1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。 高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，不管三七二十一 把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一，先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。第三句话：在题设条件中函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=0或 f(b)=0，则不管三七二十一 先用拉格朗日中值定理处理一下再说。第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”，先做变量替换使之成为简单形式 f(u)再说。线性代数解题的八种思维定势 第一句话： 题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及 AA*=A*A=|A|E。 第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解因子 aA+bE 再说。第四句话：若要证明一组向量 1, 2, ,S 线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知 AB0，则将 B 的每列作为 Ax=0的解来处理第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A000处理一下再说。第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。概率解题的九种思维定势 第一句话：如果要求的是若干事件中“至少 有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 第二句话：若给出的试验可分解成（01）的n 重独立重复试验， 则马上联想到 Bernoulli 试验，及其概率计算公式 第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 第四句话：若题设中给出随机变量 X N 则马上联想到标准化 N(0,1)来处理有关问题。 第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出 X 的变化区间，再在该区间内画一条/y 轴的直线，先与区域边界相交的为 y 的下限，后者为上限，而 的求法类似。 第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件 Yg(X)或(Y g(X)的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域 D 是由联合密度 的平面区域及满足 Yg(X)或(Y g(X)的区 g(X) (Yg(X) 域的公共部分。第七句话：涉及 n 次试验某事件发生的次数 X 的数字特征的问题，马上要联想到对 X 作（01）分解。即令 第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。 第九句话：若 为总体 X 的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量 的分布问题，一般联想到用卡方分布，t 分布和 F 分布的定义进行讨论 。 首先对极限的总结 如下 极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 1 极限分为：一般极限，还有个数列极限（区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下： 1）等价无穷小的转化 （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e 的 X 次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于 Ax 等等 。 全部熟记（x 趋近无穷的时候还原成无穷小） 2）LHopital 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！必须是 X 趋近 而不是 N 趋近！ 所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋近情况下的极限，当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点 数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！必须是 函数的导数要存在！（假如告诉你 g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 LHopital 法则分为3种情况 1、 0比0 无穷比无穷 时候 直接用2 、0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。 这样就能变成1中的形式了 写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成 1中的形式了 3、 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数） 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移 下来了， 就是写成0与无穷的形式了 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx 两 端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候， LNX趋近于03）泰勒公式 (含有 e 的 x 次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！）E 的 x 展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x 展开 对题目简化有很好帮助 4）面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母！ ！ 看上去复杂处理很简单 ！ ！ 5）无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！ ！ 6）夹逼定理（主要对付的是数列极限！ ）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。 7）等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q 绝对值符号要小于1）8）各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9）求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1的关系， 已知 Xn 的极限存在的情况下， xn 的极限与 xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10） 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！对第一个而言是 X 趋近0时候的sinx与x 比值 。 第2个就如果 x 趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式。第 2个实际上是 用于 函数是1 的无穷的形式 。 当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限11） 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！ x 的 x 次方 快于 x！ 快于 指数函数 ！ 快于 幂数函数！快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）12） 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中13）假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的14）还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投