《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版必修).doc

3.3直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1. 直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求 ，交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。1. 若二元一次方程组有唯一解，与相交。2. 若二元一次方程组无解，则与平行。3.若二元一次方程组有无数解，则与重合。例1 求下列两直线交点坐标：3x+4y-2=0； ：2x+y +2=0。 解：例2 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.分析：解：2. 两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点的距离。过分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为，直线相交于点Q。在直角中，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有所以，=。由此得到两点间的距离公式 例3 以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求的值。解：例4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明： 3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线0或B0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ可知，直线PQ的斜率为（A0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点P到直线的距离为d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，PPSS由三角形面积公式可知：SPPS所以 可证明，当A=0时仍适用得到：点到直线的距离为：例5 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。解：例6 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。解：4.平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：例7 求两平行线：，：间的距离。解：课堂小结1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2. 两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分拓展提升1已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）A. 4 B. C. D. 2、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）A B C. D3.已知直线l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0,ab)，则下列各示意图形中，正确的是( ) 4直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( )A. B. C. D.5若动点分别在直线：和：上移动，则中点到原点距离的最小值为（ ）A B C D6点A（1，3），B（5，2），点P在x轴上使|AP|BP|最大，则P的坐标为（ ）A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)7.过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当（为原点）的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值。8.光线从发出射到直线：x+y=4上的E点，经反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程。9.在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；（2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。10. 过点(2,3)的直线被两平行直线所截得线段AB的中点恰好在直线上,求直线的方程.参考答案新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法交点坐标 解例1 解：联立方程组 解得 x=-2，y=2 所以与的交点坐标为M（-2，2），如下图所示：例2 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.解：解方程组若，则1.当1时，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有10，故0因为1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上，得交点()2. 两点间距离公式的推导例3 解：设所求点P（x，0），于是有由 得 解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且 。解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=线段AB的垂直平分线的方程是 y-在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此例4分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明： 以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，）。设（，），（，），由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为所以，所以，因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线0或B0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ可知，直线PQ的斜率为（A0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点P到直线的距离为d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，PPSS由三角形面积公式可知：SPPS所以可证明，当A=0时仍适用得到：点到直线的距离为：例5 解：d=例6 解：设AB边上的高为h，则S= ，AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为即x+y-4=0。点C到X+Y-4=0的距离为hh=，因此，S=4.平行线间的距离公式推导过程： 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又 即，d 的距离.例7 解：因为 又.由两平行线间的距离公式得 拓展提升1. D 2. A 3.D 4.A 5. A 6. B 7设a(a,0),B(0,b),(a,b0),则直线的方程为：，上，又，等号当且仅当时成立，直线的方程为：x+4y8=0, Smin=88解：设Q关于y轴的对称点为，则的坐标为 设Q关于的对称点为，则中点为G，G在l上， 又 由得 由物理学知识可知，、在直线EF上， 直线EF方程为:，即 9、解：(1) 当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为折痕