直线与椭圆的位置关系教案.docx

个性化教案直线与椭圆的位置关系适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系教学目标理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；教学重点直线与椭圆的位置关系教学难点椭圆的综合应用教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 点与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系设点，椭圆标准方程为若点椭圆上，则；若点在椭圆内，则；若点在椭圆外，则；考点/易错点2 直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点；相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系设直线椭圆，联立直线与椭圆方程消去得记该一元二次方程的判别式为，则当时，直线与椭圆相交，有两个交点；当时，直线与椭圆相切，此时有一个交点；当时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设为椭圆上的两点， 叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.（其中为直线的斜率）.三、例题精析【例1】已知椭圆的离心率为，右顶点到左焦点的距离为（1）求椭圆的方程.（2）若直线与椭圆：相交，相切，相离，求实数的取值范围；（3）设直线与椭圆相交于不同的两点，令，求.【答案】（1）（2）相交：，相切： ，相离： （3）【解析】（1）依据题意，则解方程组得所以椭圆方程为（2）联立消掉得若直线与椭圆相交，则，解得若直线与椭圆相切，则，解得若直线与椭圆相离，则，解得（3）联立消掉得因为直线与椭圆有两个交点，则，解得设，由韦达定理，则，由弦长公式，则所以【例题2】已知椭圆，（1）求斜率为的平行弦中点的轨迹方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且关于点对称，求直线的方程；（3）过点的直线与椭圆相交，求直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【答案】（1），（2），（3）【解析】(1) 设平行弦中点坐标为，弦与椭圆对应的两个交点为，两式相减得化简整理得又因为，代入上式，得.所以平行弦中点的轨迹方程为：（2）设，则两式相减得化简整理得又因为关于点对称，则所以故直线的方程为：（3）由点的位置结合椭圆方程可知直线的斜率必然存在，设弦中点坐标为，则、设直线与椭圆的两交点分别为，则又两式相减得化简整理得、由联立化简得， .所以弦中点的轨迹为：.【例题3】椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，为椭圆的左顶点，求证：的大小为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）依据题意，则设椭圆方程为，则，解得，所以椭圆的标准方程为（2）当直线时，易得，下面给出证明依据题意，设直线联立消可得设，由韦达定理，则，、，则，、将代入整理得所以，故为定值.四、课堂运用【基础】1. 若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值.【答案】【解析】联立消得因为直线与椭圆只有一个交点，则解得.2. 直线与椭圆相交于两点，若，求的值.【答案】1【解析】联立消去得恒成立，则设，由韦达定理，则，由弦长公式解得.【巩固】1. 已知椭圆，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且,则椭圆的离心率为（ ） 【答案】【解析】（代数法）：设，由题意知，.直线的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 解得离心率 .2. 已知椭圆，是过点且相互垂直的两条直线，问实数为何值时，与椭圆都有公共点.【答案】【解析】由题知点在轴上运动，分两种情形讨论（1） 当中有一条与轴平行时，则必有一条是轴，此时；（2） 当中都不与轴平行时，设，则.与椭圆有公共点，即有实数根，整理得解得.与椭圆有公共点，同理可得当时，；又时，；而必有一个小于等于1，此时与椭圆不可能都有公共点.综上所述时，与椭圆都有公共点.即.【拔高】1. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线(1)求椭圆的离心率；(2)设为椭圆上任意一点，且，证明：为定值【答案】（1），（2）见解析【解析】：（1）设椭圆方程为，则直线的方程为代入，化简得设，由韦达定理，则、由，与共线，得，又所以、将代入整理得：,故离心率证明：由（1）知,所以椭圆方程可以化为：，设，由已知得解得，因为在椭圆上，代入整理得由（1）知，则，则由，则又因为：所以，即，故为定值.课程小结本节主要学习了以下内容：1.点与椭圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系3.椭圆的综合应用。课后作业【基础】1. 已知直线与椭圆相交，则实数的取值范围为（ ） 【答案】【解析】把直线方程代入椭圆得，因为相交，所以，解得.故选2. 直线与椭圆相交于两点，则弦（ ） 【答案】【解析】：联立方程消去得，设则.选3. 直线方程，椭圆，则直线与椭圆的位置关系为（ ） 相交 相离 相切 无法判断【答案】【解析】已知直线过定点，定点代入椭圆则，过直线过椭圆内部的点，所以直线与椭圆相交，选 【巩固】1. 已知直线，椭圆，试问：当取何值时，直线与椭圆：相交；相切；相离.【答案】；【解析】将代入椭圆消去得，当，即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相离.2. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A()，B（）,则-得，整理得所以，故直线方程为.法二：设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为.【拔高】1.已知椭圆的离心率为，右顶点到左焦点的距离为（1） 求椭圆的方程.（2） 设直线与椭圆相交于两点，令，求.【答案】（）（）【解析】（1），右顶点到左焦点的距离为，则，联立解得，椭圆方程为.（2） 联立消去得，因为直线与椭圆有两个交点，所以解得设，则代入数据得所以2. 已知是椭圆上的一点（非顶点），过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别与轴，轴交于两点.（1）证明：四点共圆.（其中为坐标原点）（2）求的最小值.【答案】（）答案见解析（）【解析】如图.(1)证明：因为都与圆相切，是切点，则,即,所以四点共圆.（2）四点共圆，直径为，设，则圆心为，圆的方程为、 、-整理得，直线的方程为因为直线与轴交点分别为，则， ，又在椭圆上，则，所以.3. 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 （2）设直线方程：得，代入得 设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以， 。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得， 。所以直线EF的斜率。即直线