2020届山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题（解析版）

2020届山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题一、单选题1命题:“”的否定为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【详解】解：命题“”是全称命题，则命题的否定是特称命题即，故选：【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题2是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ）AB0CD1【答案】A【解析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解【详解】解：是虚数单位，复数，的虚部为故选：【点睛】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题3在中，若 ，则=（ ）A1B2 C3D4【答案】A【解析】余弦定理将各值代入得解得或(舍去)选A.4若是任意实数，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据指数函数的单调可得正确，举反例可判断其他选项是错误的.【详解】解：、是任意实数，且，如果，显然不正确；如果，显然无意义，不正确；如果，显然，不正确；因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确故选：【点睛】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题5设，若，求实数组成的集合的子集个数有A2B3C4D8【答案】D【解析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.6已知，且，则的值为（）A-7B7C1D-1【答案】B【解析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式，将代入运算即可.【详解】解：因为，所以，即，又 ，则，解得= 7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.7古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）A6天B7天C8天D9天【答案】C【解析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天【详解】解：设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8故选：【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题8已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，设，则有，即函数的图象关于对称，结合时，及已知导数可判断函数单调性，从而可求不等式【详解】解：根据题意，设，则，则有，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，又由当时，即当时，即函数在区间为增函数，由可得，即，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及函数的对称性以及不等式的解法，属于中档题9已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数的对称性，利用，建立方程求出的值，然后利用辅助角公式求出的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可【详解】解：解：的图象关于直线对称，即，则，或，即，一个为最大值，一个为最小值，则的最小值为，的最小值为，即的最小值为.故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出的值以及利用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键10已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】先作图象，再根据图象确定等量关系以及参数取值范围，最后化简得结果.【详解】先作图象，由图象可得因此为，从而，选A.【点睛】对于方程解(或函数零点的)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、多选题11关于平面向量，下列说法中不正确的是（ ）A若且，则BC若，且，则D【答案】ACD【解析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可【详解】解：对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；对于，向量数量积满足分配律，故对；对于，向量数量积不满足消去率，故错；对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错故选：【点睛】本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题12己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）ABC上有且仅有4个极大值点D上单调递增【答案】CD【解析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性【详解】解：为图象的一条对称轴，为的一个零点，且，在上有且仅有7个零点，即，又，所以，令，解得，当解得，因为，所以故上有且仅有4个极大值点，由得，即在上单调递增，在上单调递增，综上，错误，正确，故选：【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题13设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可【详解】解：令函数，因为，为奇函数，当时，在上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为， 故选：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，属于中档题三、填空题14已知向量满足， ，则_.【答案】【解析】根据向量的数量积的运算律求出，再计算即可得解.【详解】解：由已知：， ，所以，展开得到，所以，所以，所以；故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的模的运算；利用了向量的模的平方与向量的平方相等，属于基础题15设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，则，解得，所以实数的取值范围是【考点】充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解的解集，再由是的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题16在中，分别为内角的对边，若，且，则_【答案】4【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，可解得，余弦定理可得，可解得，故答案为.17现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为_.【答案】3 【解析】先求出原来的体积和，再求出新的体积和，列出方程，即可解出新的底面半径，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，利用相似比用表示出，从而把正三棱柱的表面积表示成的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三棱柱的表面积取到最大值时的值【详解】解：由题意可知，底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱的总体积为，设新的圆锥和圆柱的底面半径为，则：，解得：，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，又，正三棱柱的表面积，当时，三棱柱的表面积取到最大值，故答案为：3，【点睛】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积公式，属于中档题四、解答题18己知函数的最大值为1.（1）求实数的值；（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）-1（2）最大值，最小值-3【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数，可得（2）根据函数的图象变换规律，可得再根据，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值【详解】解：（1） ， （2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象， ， 当时，取最大值， 当时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题19等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据已知求出和，从而得到通项公式；（2）写出的通项公式，可知当时，当时，；从而可分别在两个范围内求解.【详解】（1）由题意得： （2）当时，；时，当时，当时，即综上所述：【点睛】本题考查等差数列的通项公式求解、含绝对值的数列前项和问题.解决含绝对值的求和问题，关键是要区分清楚通项正负的临界点，从而分别在两段区间内进行求和运算.20“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，；（2），则，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，当时，取到最大值.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.21已知函数且a0）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）当a-1时，求出，解得，不成立；当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）单调递减f（x）无极小值；当-1a0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a0时，极小值f（1）=-a-4由此能求出a的值【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由题意可知 曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 （）当a-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）极小值极大值此时，解得，故不成立当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递减此时f（x）无极小值，故不成立当-1a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）极小值极大值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或因为-1a0，所以当a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）极小值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立综上所述【点睛】本题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题22设正项数列的前n项和为，已知(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围。【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）首先求出，利用与作差，化简即可得到为常数，进而可证明数列为等差数列，其首项为2，公差2，利用等差数列通项公式求出；（2）结合（1）可得，利用裂项相消，即可求出数列的前项和为，代入，分离参数即可得到，分别为奇数和偶数是的范围即可。【详解】（1）证明:，且，当时，解得 当时，有即，即于是，即，为常数数列是为首项，为公差的等差数列， （2）由（1）可得： ， ，即对任意都成立，当为偶数时，恒成立，令，在上为增函数，当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，由可知： 综上所述的取值范围为:【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，求数列前项和的方法以及数列与函数的结合，考查学生运算求解能力，属于中档题。23已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明【答案】（1）（2）2个零点.【解析】（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，）内单调性，由零点判定