广东第二师范学院第三届数学建模竞赛

竞赛试题及参考答案 第 1 页 共 6 页 广东第二师范学院第三届数学建模竞赛广东第二师范学院第三届数学建模竞赛 试题及参考解答试题及参考解答 一 最大收益一 最大收益 某食品厂生产 型和 型饼干 在每种饼干的生产过程中 都需要使用搅拌机 A 成 型机 B 和烘箱 C 三种设备 已知每生产一吨 型饼干需要在 A B C 上工作的时间 分别为 4 5 8 小时 对 型饼干 相应的时间为 6 4 3 小时 每生产一吨 型饼干均 可获得利润 7 百元 这些饼干在市场上都很畅销 但由于条件限制 A B C 每天可供利用 的工时不能超过 24 20 24 小时 试问应如何安排每天 型饼干的生产量 才能使该 厂获得最大的收益 解 解 设每天 型饼干的生产量分别为吨 每天的利润为 则此问题的数学模 12 x xZ 型为 12 maxZ77xx s t 10 分 12 12 12 12 4624 5420 8324 0 xx xx xx x x 这是一个整线性规划问题 现用图解法进行求解 可行域为 由直线 以及 112 4624lxx 212 5420lxx 312 8324lxx 组成的凸五边形区域 直线在可行域内平行移动 0 0 xy 12 77lxxc 18 分 易知 当 过与的交点时 取最大值 l 1 l 2 lZ 竞赛试题及参考答案 第 2 页 共 6 页 由 解得 12 12 4624 5420 xx xx 1 2 12 7 20 7 x x 此时 百元 25 分 max 1220 7732 77 Z 故每天生产 型饼干吨 型饼干吨 相应的收益最大是 3200 元 12 720 7 二 快件派送快件派送 如图 快递员从 C3骑车出发往 A2 C1 E2三处送快件 然后回到 C3 图中数字单位 为 hm 百米 假设车速为 15km h 送快件时每处耽误 5min 试为快递员设计一条最短路 线 问从出发算起 30min 内该快递员能否回到出发地点 解 解 第一步 先找出 C3到达 A2 C1 E2各点间最短距离如下表 单位 hm 从 到 C3A2C1E2 C309810 A2901116 C181108 E2101680 10 分 第二步 将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图 G 见下图 1 C3 2 A2 3 C1 4 E2 图 各点间加权无向图 17 分 第三步 按最优邻近法求最佳线路的具体过程如下 16 竞赛试题及参考答案 第 3 页 共 6 页 开始于顶点 1 组成闭回路 11 在下一阶段最邻近 1 的顶点为顶点 3 建立闭回路 131 顶点 4 最邻近顶点 3 建立闭回路 1341 将顶点 2 插入上面闭回路 得到 6 个闭回路是 13421 13241 14321 14231 12341 12431 它们的长度分别为 41 45 38 45 38 41 在这些闭回路中长度最短的回路 14321 12341 为最佳线路 即 C3 A2 C1 E2 C3或 C3 E2 C1 A2 C3 距离均为 3800m 按所给数据 骑车和派件耽误 时间共 min 2 303560 15000 3800 故从出发算起半小时内该快递员不能回到出发地点 25 分 三 雪球融化三 雪球融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例 且在融化过程中它始终为球体 该雪 球在开始时的半径为 6cm 经过 2 小时后 其半径缩小为 3cm 试推导雪球的体积随时间变 化的关系式 并求 3 个小时后雪球的体积 解 解 设 t 时刻雪球的体积为 表面积为 s t 则 10 分 v t tks dt tdv 根据球体的体积 和表面积 s 4 2 的关系得 s t v 3 3 4 R R 3 2 4 3 4 v 3 2 3 2 3 1 3 4 v 引入新常数 r 再利用题中的条件得 v 0 288 v 2 36 k 3 2 3 1 3 4 3 2 rv dt dv 15 分 分离变量积分得方程的通解为 v t c rt 20 分 27 1 3 利用条件 v 0 288和 v 2 36得 c 36 r 9 代入得雪球体积随时间变化的 3 6 3 6 关系式为 v t 实际问题要求 t 0 4 3 个小时后雪球的体积为 3 3 312 6 t v 25 分 9 2 四 宠物食谱四 宠物食谱 一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含 100 个单位的蛋白质 200 个单位的卡路 里 50 个单位的脂肪 一个商店的宠物食物部有 4 种食物 分别为 A B C D 每千克食物 所含的营养成分如下 竞赛试题及参考答案 第 4 页 共 6 页 食品蛋白质卡路里脂肪 A5202 B4252 C71010 D1056 若单从该商店的这四种食物中取材 是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱 解 解 此问题是对食物 A B C D 进行混合 使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推荐 的量相等 故可列出线性方程组对此问题进行求解 设宠物狗一天食谱中食物 A B C D 的量分别为 千克 为保证 1 x 2 x 3 x 4 x 其食谱满足兽医的推荐 可得如下线性方程组 10 分 1234 1234 1234 54710100 2025105200 2210650 xxxx xxxx xxxx 同解方程组为 15 分 1234 234 34 5325 181160 361685 xxxx xxx xx 通过回代的方法确定上述方程组的非负解 实际问题的需要 令 则 于是 此时要求 20 分 4 xt 0t 3 1 85 16 0 36 xt 85 16 t 将与回代 求得 此时要求 4 x 3 x 2 35 30 2 xt 35 6 t 然而 故无解 这就说明 不可能找到方程组的非负解 也即 该商店 16 85 6 35 3585 616 t 中的这四种食物无论如何配比 都不能完成兽医的配方要求 25 分 五 最优生产五 最优生产 甲车间为乙车间生产某种原料 已知乙车间平均每月需要 100 件 而甲车间平均每月 生产 500 件 因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产 另外甲车间的产品运到乙车间 时要包装 平均每批的包装费为 4 元 若运到乙车间后暂时来不及加工 则要花费存贮费 平均每件每月 0 4 元 每月按 30 天计算 请通过建立数学模型给出甲车间的最优生产周期 注 据调查知在一个生产周期 T 天的存贮费用为 其中为生产 0 1 2 PR TT C 0 R TT P 时间 为甲车间的生产速度 为乙车间的需求速度 C 为每天每件产品的存贮费 PR 解 解 设一个生产周期 T 天的包装费为 D 每个月生产的批数为 30 T 因此每个月内的总费 用为 F T 竞赛试题及参考答案 第 5 页 共 6 页 10 分 0 301 2 1 30 2 F TDPR TT C T DR PRTC TP 利用微积分求极值方法可得 2 1 300 2 DPR F TRC TP 从而 15 分 2 PD T PR RC 已知 P 500 30 R 100 30 D 4 C 0 4 30 于是可得 50 24 2 3 15 5010 100 4 33330 PD T PR RC 因此 甲车间的最优生产策略为每隔 15 天生产一批 25 分 六 鱼雷轨迹六 鱼雷轨迹 位于坐标原点的我舰向位于轴上距离我舰 1 公里处的敌舰发射制导鱼雷 假设敌舰以x 速度沿着平行于轴的直线行进 鱼雷始终对准敌舰且速度为 请建立数学模型确 0 vy 0 2v 定鱼雷的轨迹方程 y Ox 1 P Q 解 解 设鱼雷航行轨迹方程为 在时刻 鱼雷的坐标为 敌舰的坐标为 yy x t P x y 因鱼雷始终对准敌舰 所以有 0 1 Qv t 竞赛试题及参考答案 第 6 页 共 6 页 1 5 分 0 1 v ty y x 而弧线的长度为 A OP 2 8 分 2 0 0 12 x y dxv t 由 1 2 两式消去得 0 v t 3 12 分 2 1 1 1 2 x yy 根据题意 初始条件为 0 0 0 0y y 令 方程 3 化为yp 4 2 1 1 1 2 x pp 由方程 4 解得 5 17 分 1 2 2 1 1 1 yy