2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

1 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国全国 卷 卷 数学数学 理理 试题试题 一 选择题一 选择题 本大题本大题 共共 12 题题 共计共计 60 分分 1 设集合 32 Mmm Z 13 NnnMN Z 则 A B C D 01 101 012 1012 2 设且 若复数是实数 则 ab R 0b 3 abi A B C D 22 3ba 22 3ab 22 9ba 22 9ab 3 函数的图像关于 1 f xx x A 轴对称 B 直线对称 yxy C 坐标原点对称 D 直线对称xy 4 若 则 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx A B C D abccabbacbca 5 设变量满足约束条件 则的最小值 xy 22 2 yx xy x yxz3 A B C D 2 4 6 8 6 从 20 名男同学 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学 中既有男同学又有女同学的概率为 A B C D 9 29 10 29 19 29 20 29 7 的展开式中的系数是 64 1 1 xx x A B C 3 D 4 4 3 8 若动直线与函数和的图像分别交于两点 xa sinf xx cosg xx MN 则的最大值为 MN A 1B C D 223 2 9 设 则双曲线的离心率 的取值范围是 1a 22 22 1 1 xy aa e A B C D 2 2 25 2 5 25 10 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等 是的中点 则SABCD ESB 所成的角的余弦值为 AESD A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 11 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与 原点20 xy 740 xy 在等腰三角形的底边上 则底边所在直线的斜率为 A 3B 2C D 1 3 1 2 12 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的 公共弦长为 2 则两圆的圆心距等于 A 1 B C D 223 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线分 把答案填在题中横线 上 上 13 设向量 若向量与向量共线 则 12 2 3 ab ab 47 c 14 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 ax ye 01 210 xy a 15 已知是抛物线的焦点 过且斜率为 1 的直线交于两F 2 4Cyx FCAB 点 设 则与的比值等于 FAFB FAFB 16 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平 行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 3 算步骤 算步骤 17 本小题满分 10 分 在中 ABC 5 cos 13 B 4 cos 5 C 求的值 sin A 设的面积 求的长 ABC 33 2 ABC S BC 18 本小题满分 12 分 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费元 若投保人在购买a 保险的一年度内出险 则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年 度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈 利的期望不小于 0 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 19 本小题满分 12 分 如图 正四棱柱中 点在上且 1111 ABCDABC D 1 24AAAB E 1 CC ECEC3 1 证明 平面 1 AC BED 求二面角的大小 1 ADEB A B CD E A1 B1 C1 D1 4 20 本小题满分 12 分 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 aa 1 3n nn aS n N 设 求数列的通项公式 3n nn bS n b 若 求的取值范围 1nn aa n Na 21 本小题满分 12 分 设椭圆中心在坐标原点 是它的两个顶点 直线与 2 0 01 AB 0 kkxy AB 相交于点 D 与椭圆相交于 E F 两点 若 求的值 6EDDF k 求四边形面积的最大值 AEBF 22 本小题满分 12 分 设函数 sin 2cos x f x x 求的单调区间 f x 如果对任何 都有 求的取值范围 0 x f xax a 5 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国全国 卷 卷 数学数学 理理 试题试题 答案解析答案解析 一 选择题一 选择题 1 答案 B 解析解析 依题 M 2 1 0 1 N 1 0 1 2 3 从而 M N 1 0 1 故选 B 2 答案 A 解析解析 a bi 3 a3 3a2 bi 3a bi 2 bi 3 a3 3a2bi 3ab2 b3i a3 3ab2 3a2b b3 i 为实数 3a2b b3 0 又 b 0 3a2 b2 0 b2 3a2 选 A 3 答案 C 解析解析 f x f x f x x 是奇函数 f x 的图象关于坐标原点对称 4 答案 C 解析解析 a lnx b 2lnx lnx2 c ln3x x e 1 1 x x2 故 a b 排除 A B e 1 x 1 1 lnx ln1 0 lnx ln3x a c 故 b a c 选 C 5 答案 D 解析解析 作出可行域 6 令 z 0 则 l0 x 3y 0 平移 l0在点 M 2 2 处 z 取到最小 最小值为 8 6 答案 D 解析解析 排除法即可 P 1 1 7 答案 B 解析解析 化简原式 1 4 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 x 4 1 2 1 4x 6x2 4x3 x4 1 2 x 故系数为 1 4 3 选 B 8 答案 B 解析解析 依题可知 MN sina cosa sin a 故 MN max 9 答案 B 解析解析 依题可知离心率 e 7 a 1 0 1 1 2 1 4 e 2 5 10 答案 C 解析解析 作图 连结 EO 则所求角为 AEO 或其补角 EO SD 设侧棱长为 a 则 OE SD a AO a AE a 由余弦定理得 cos AEO 11 答案 A 解析解析 依题设底边所在直线斜率为 k 则底边方程为 l y kx l1 x y 2 0 k1 1 l2 x 7y 4 0 k2 由等腰三角形特征有 直线 l 到 l1所成角的正切与直线 l2到 l 所成角的正切相 等 8 从而 得 k 3 故选 A 12 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的 公共弦长为 2 则两圆的圆心距等于 A 1 B C D 223 答案 C 解析解析 依题意有示意图 截面示意图为 其中 AH 为公共弦长的一半 OA 为球半径 OH 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线分 把答案填在题中横线 上 上 13 答案 2 解析解析 a a b b 1 2 2 3 2 2 3 a a b b与c c共线 2 7 2 3 4 0 解出 2 9 14 答案 2 解析解析 y eax y eax a y x 0 ea 0 a a 又 x 2y 1 0 的斜率为 由题意 a 1 a 2 15 答案 解析解析 lAB y 0 x 1 即 y x 1 联立 xa 3 2 xb 3 2 3 2 16 解析 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一 点 底面是平行四边形 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他正确答案 同样给分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 17 解 由 得 5 cos 13 B 12 sin 13 B 由 得 4 cos 5 C 3 sin 5 C 所以 5 分 33 sinsin sincoscossin 65 ABCBCBC 由得 33 2 ABC S 10 133 sin 22 ABACA 由 知 33 sin 65 A 故 8 分65ABAC 又 sin20 sin13 ABB ACAB C 故 2 20 65 13 AB 13 2 AB 所以 10 分 sin11 sin2 ABA BC C 18 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 记投保的 10 000p 人中出险的人数为 则 4 10 Bp 记表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则A 发生当且仅当 2 分A0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故 5 分0 001p 该险种总收入为元 支出是赔偿金总额与成本的和 10 000a 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为 9 分10 00010 00050 000EaE 由知 43 10 10 B 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 11 0E 444 1010105 100a 1050a 元 15a 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 19 解法一 依题设知 2AB 1CE 连结交于点 则 ACBDFBDAC 由三垂线定理知 3 分 1 BDAC 在平面内 连结交于点 1 ACAEF 1 ACG 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE 与互余 CFE 1 FCA 于是 1 ACEF 与平面内两条相交直线都垂直 1 ACBEDBDEF 所以平面 6 分 1 AC BED 作 垂足为 连结 由三垂线定理知 GHDE H 1 AH 1 AHDE 故是二面角的平面角 8 分 1 AHG 1 ADEB 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 12 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB arctan5 5 解法二 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 DDAx 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 3 分 11 2 24 2 0 4 ACDA 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 6 分 1 AC DBE 设向量是平面的法向量 则 xyz n 1 DAE DE n 1 DA n 故 20yz 240 xz 令 则 9 分1y 2z 4x 412 n 等于二面角的平面角 1 AC n 1 ADEB 1 1 1 14 cos 42 AC AC AC A n n n 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB 14 arccos 42 20 解 依题意 即 11 3n nnnn SSaS 1 23n nn SS 由此得 4 分 1 1 32 3 nn nn SS 因此 所求通项公式为 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 13 6 分 1 3 3 2 nn nn bSa n N 由 知 1 3 3 2 nn n Sa n N 于是 当时 2n 1nnn aSS 112 3 3 23 3 2 nnnn aa 12 2 3 3 2 nn a 12 1 4 3 3 2 nn nn aaa 2 2 3 2123 2 n n a 当时 2n 2 1 3 1230 2 n nn aaa 9a 又 211 3aaa 综上 所求的的取值范围是 12 分a 9 21 解 依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 直线的方程分别为 2 分ABEF 22xy 0 ykx k 如图 设 其中 001122 D xkxE xkxF xkx 12 xx 且满足方程 12 xx 22 14 4kx 故 21 2 2 14 xx k 由知 得 6EDDF 0120 6 xxxx 0212 2 1510 6 77 7 14 xxxx k D F B y x A O E 14 由在上知 得 DAB 00 22xkx 0 2 12 x k 所以 2 210 12 7 14 k k 化简得 2 242560kk 解得或 6 分 2 3 k 3 8 k 解法一 根据点到直线的距离公式和 式知 点到的距离分别EF AB 为 2 11 1 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 9 分 2 22 2 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 又 所以四边形的面积为 2 215AB AEBF 12 1 2 SAB hh 2 14 12 5 2 5 14 k k AA 2 2 12 14 k k 2 2 144 2 14 kk k 2 2 当 即当时 上式取等号 所以的最大值为 12 分21k 1 2 k S2 2 解法二 由题设 1BO 2AO 设 由 得 11 ykx 22 ykx 2 0 x 21 0yy 故四边形的面积为