2019-2020学年西安中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年陕西省西安中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.【详解】抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，故焦点坐标为.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.2已知,且，则x=( )A5B4C-4D-5【答案】C【解析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x.【详解】由题意可知，因为，所以，所以x=-4,选C.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例。3给出下列命题：若空间向量满足，则；空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量，由，则；在向量的数量积运算中.其中假命题的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故错误；对于，单位向量的方向不一定相同，故错误；对于，取，满足，且，但是，故错误；对于，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故错误.故选：D.【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4下列命题，正确的是（ ）A命题“，使得”的否定是“，均有”B命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C命题“若，则”的逆否命题是真命题D命题“若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】对于选项A,正确的是“ 均有”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答. 5过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）ABCD【答案】B【解析】依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长。【详解】抛物线的准线方程是，所以，故选B。【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法。6设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7椭圆的焦距为4，则m等于（ ）A4B8C4或8D12【答案】C【解析】分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，分别求出、的表达式，结合可求出答案.【详解】因为为椭圆，所以，即，若椭圆的焦点在轴上，则，故，解得，符合题意；若椭圆的焦点在轴上，则，故，解得，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8（2016新课标全国理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为ABCD2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A.【考点】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.9已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为()A(1,0，2)B(1,0,2)C(1,0,2)D(2,0，1)【答案】C【解析】利用，即可得出【详解】，解得P(1,0,2) 故选C 【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.10已知是椭圆的两焦点，P是椭圆上任意一点，过一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则动点Q的轨迹为（ ）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】A【解析】【详解】不妨设过焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F1Q交F2P与M点,连OQ，则,所以动点Q的轨迹为圆，选A.11如图所示，直三棱柱的侧棱长为，底面边长，且，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，可知，进而可得的坐标，然后求得的表达式，求出最小值即可.【详解】由题意可知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，则，当时，取得最小值.故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，设，则，所以，即，又，所以，故选A【考点】椭圆的几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义二、填空题13O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t_【答案】【解析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.【详解】P，A，B，C四点共面，且，解得.故答案为: 【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.14设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_.【答案】【解析】，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果【详解】椭圆，可得，设，可得，化简可得：，故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，且，则的长等于_【答案】2【解析】由已知中二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长【详解】A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角l的平面角等于120，且ABACBD1，60，故答案为2【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键16已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_【答案】9【解析】求得双曲线的，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值【详解】解：由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则则的最小值为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题三、解答题17根据下列条件求曲线的标准方程：（1）准线方程为的抛物线；（2）焦点在坐标轴上，且过点、的双曲线【答案】（1）；（2）【解析】（1）设抛物线的标准方程为，利用准线方程为，可求出的值，即可求出抛物线的标准方程；（2）设所求双曲线的方程为，将点、代入方程，可求出，进而可求出双曲线的标准方程.【详解】（1）设抛物线的标准方程为其准线方程为，所以有，故因此抛物线的标准方程为（2）设所求双曲线的方程为，因为点、在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得，解得，因此所求双曲线的方程为.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18如图，在正方体中，为棱的中点求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明，可得出平面；（2）结合（1），平面的法向量是，然后求出平面的法向量，进而可证明，从而可知平面平面.【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以，设平面的法向量，则，取，得因为，所以，所以平面；（2）设平面AEC的法向量，则，取，得，平面平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.19如图，在直三棱柱中，已知，且，M是的中点（1）求证：平面；（2）设AC与平面的夹角为，求【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而可证明，又平面，即可证明平面；（2）由（1）可得及平面的法向量为，设和的夹角为，可得，求解即可.【详解】（1）由题易知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，是的中点，由此可得，设向量为平面的一个法向量，则，取，得，为平面的一个法向量，平面，平面.（2），平面的一个法向量为，AC与平面的夹角为，设和的夹角为，则.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20一个圆经过点，且和直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）圆心到定点与到定直线的距离相等，可知圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，求出方程即可；（2）易知直线斜率存在且不为零，可设直线，设，联立直线与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由轴是的角平分线，可得，整理可求得，再结合韦达定理，从而可求得的值，进而可求得直线过定点.【详解】（1）由题意，圆心到定点与到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为.（2）由题可知，直线与C有两个交点且不垂于于轴，所以直线斜率存在且不为零，设直线，联立，可得，则，且，又，轴是的角平分线，所以，整理可得，所以，即，此时满足，故：，所以，直线PQ过定点.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，M是AB的中点（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析.【解析】（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明（2）推导出，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且【详解】证明：，M是AB的中点，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，解：（2） 平面ABCD，是正三角形，、MC、ME两两垂直建立如图所示空间直角坐标系则0，0，0，0，0，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量，二面角的余弦值为（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为0，设，则，直线AP与平面ABE所成的角为，由，解得，在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题22已知是椭圆：的左焦点，O为坐标原点，为椭圆上的点（1）求椭圆的标准方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求面积的最大值，及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为1，此时直线的方程为【解析】（1）依题意可得，求出，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，易知直线AB的斜率存在，设为k，将两点坐标分别代入椭圆方程，所得两式相减，可得到，进而可求出k的值，从而设出直线的方程，并与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，分别