曲线运动综合问题分析及解题思路---李维斗

曲线运动综合问题 分析及解题思路 曲线运动综合问题 分析及解题思路 教 师 李维斗 第 1 页 第第 1 讲讲 曲线运动综合问题分析及解题思路曲线运动综合问题分析及解题思路 一 基础知识基础知识 1 曲线运动的特征 曲线运动的特征 1 曲线运动的轨迹是曲线 2 由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向 又由于曲线运动的轨迹是曲线 所以曲线运动 的速度方向时刻变化 即使其速度大小保持恒定 由于其方向不断变化 所以说 曲线运动一定是变 速运动 一定是变 速运动 3 由于曲线运动速度一定是变化的 至少其方向总是不断变化的 所以 做曲线运动的物体 的加速度必不为零 所受到的合外力必不为零 2 物体做曲线运动的条件 物体做曲线运动的条件 1 物体做一般曲线运动的条件 物体所受合外力 加速度 的方向与物体的速度方向不在一条直线上 2 物体做平抛运动的条件 物体只受重力 初速度方向为水平方向 可推广为物体做类平抛运动的条件 物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直 3 物体做圆周运动的条件 物体受到的合外力大小不变 方向始终垂直于物体的速度方向 且合外力方向始终在同一个平面 内 即在物体圆周运动的轨道平面内 3 运动的合成与分解运动的合成与分解 物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的 由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做 运动的合成 由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解 运动的合成与分解基本关系 分运动的独立性 运动的等效性 合运动和分运动是等效替代关系 不能并存 运动的等时性 运动的矢量性 加速度 速度 位移都是矢量 其合成和分解遵循平行四边形定则 4 平抛运动 平抛运动 1 平抛运动是指物体只在重力作用下 从水平初速度开始的运动 2 研究平抛运动的方法 通常 可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动 一个是水平方向 垂直于恒力方向 的匀速直线运动 一个是竖直方向 沿着恒力方向 的匀加速直线运动 图 1 第 2 页 水平速度 vx v0 竖直速度 vy gt 合速度 实际速度 的大小 22 yx vvv 物体的合速度 v 与 x 轴之间的夹角为 0 tan v gt v v x y 水平位移 tvx 0 竖直位移 2 2 1 gty 合位移 实际位移 的大小 22 yxs 物体的总位移 s 与 x 轴之间的夹角为 0 2 tan v gt x y 可见 平抛运动的速度方向与位移方向不相同 而且 tan2tan 3 平抛运动的几个结论 落地时间由竖直方向分运动决定 由 2 2 1 gth 得 g h t 2 水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定 g h vtvx 2 00 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等 于水平位移的一半 证明 2 2 1 tan 2 0 x s s gt v gt 4 轨迹方程 由tvx 0 和 2 2 1 gty 消去 t 得到 2 2 0 2 x v g y 可见平抛运动的轨迹为抛物线 5 从动力学的角度看 由于做平抛运动的物体只受到重力 因此物体在整个运动过程中机械能 守恒 5 匀速圆周运动 匀速圆周运动 1 描述匀速圆周运动的物理量 第 3 页 轨道半径 r 对于一般曲线运动 可以理解为曲率半径 线速度 v 大小等于物体在一段时间内运动的弧长 s 与时间 t 的比值 方向为圆周的切 线方向 注意 线速度是矢量 实际上 线速度是速度在曲线运动中的另一称谓 对于匀速圆周运 动 线速度的大小等于平均速率 角速度 又称为圆频率 大小等于一段时间内转过的角度 与时间 t 的比值 注意 弧 度的符号为 rad 而 r 通常表示多少转 每转为 2 弧度 角速度也是矢量 周期 T 圆周运动一周所需要的时间 频率 f 或转速 n 物体在单位时间内完成的圆周运动的次数 2 各物理量之间的关系 r t r v f Tt rf T r t s v 2 2 2 2 注意 计算时 均采用国际单位制 角度的单位采用弧度制 3 圆周运动的向心加速度 匀速圆周运动的加速度称为向心加速度 其大小为r r v an 2 2 还有其它的表示形式 如 rfr T van 2 2 2 2 表征速度方向改变的快慢 其方向时刻改变且时刻指向圆心 对于 一般的非匀速圆周运动 公式仍然适用 为物体的加速度的法向加速度分量 r 为曲率半径 物体的 另一加速度分量为切向加速度 a 表征速度大小改变的快慢 对匀速圆周运动而言 a 0 4 圆周运动的向心力 匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力 向心力的来源可以是任何性质的力 常见的 提供向心力的典型力有万有引力 洛仑兹力等 对于一般的非匀速圆周运动 物体受到的合力的法向 分力 n F提供向心加速度 下式仍然适用 切向分力 F提供切向加速度 向心力的大小为 rm r v mmaF nn 2 2 还有其它的表示形式 如 rfmr T mmvFn 2 2 2 2 向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心 实际上 向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式 第 4 页 5 离心运动 当物体受到的合外力 nn maF 时 物体做匀速圆周运动 当物体受到的合外力 nn maF 时 物体做离心运动 当物体受到的合外力 nn maF 时 物体做近心运动 实际上 这正是力对物体运动状态改变的作用的体现 外力改变 物体的运动情况也必然改变以 适应外力的改变 6 两类典型的曲线运动的分析方法比较 两类典型的曲线运动的分析方法比较 1 对于平抛运动这类 匀变速曲线运动 我们的分析方法一般是 在固定的坐标系内正交分解 其位移和速度 运动规律可表示为 2 0 2 1 gty tx 0 gt y x 2 对于匀速圆周运动这类 变变速曲线运动 我们的分析方法一般是 在运动的坐标系内正交 分解其力和加速度 运动规律可表示为 0 2 2 mmr r m maFF maF 向向法 切切 注意 注意 1 记住物体做匀速圆周运动的条件 能判断物体是否做匀速圆周运动 2 记住匀速圆周运动的 v T f a 向心力等运动学公式 3 知道解匀速圆周运动题的一般步骤 与牛顿第二定律解题思中相同 4 掌握几种情景中的圆周运动 水平面内的匀速圆周运动 重力场中竖直面内圆周运动 注意临界条件 天体的匀速圆周运动 第 5 页 二 典型例题二 典型例题 1 类型题类型题 会用曲线运动的条件分析求解相关问题 会用曲线运动的条件分析求解相关问题 例 1 质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态 当撤去某个恒力 F1时 物体可能做 A 匀加速直线运动 B 匀减速直线运动 C 匀变速曲线运动 D 变加速曲线运动 例 2 如图所示 质量为 m 的小球 用长为 l 的不可伸长的细线挂在 O 点 在 O 点正下方 2 l 处有一 光滑的钉子 O 把小球拉到与钉子 O 在同一水平高度的位置 摆线被钉子拦住且张紧 现将小球由 静止释放 当小球第一次通过最低点 P 时 A 小球的运动速度突然减小 B 小球的角速度突然减小 C 小球的向心加速度突然减小 D 悬线的拉力突然减小 2 类型题 类型题 平抛运动平抛运动 1 常规题的解法 常规题的解法 例 3 如图所示 墙壁上落有两只飞镖 它们是从同一位置水平射出的 飞镖 A 与竖直墙壁成 53 角 飞镖 B 与竖直墙壁成 37 角 两者相距为 d 假设飞镖的运动是平抛运动 求射出点离墙壁的水平距 离 sin37 0 6 cos37 0 8 图 2 图 3 第 6 页 2 斜面问题 斜面问题 例 4 如图所示 以水平初速度 0 v抛出的物体 飞行一段时间后 垂直撞在倾角为 的斜面上 求物 体完成这段飞行的时间和位移 例 5 在倾角为 的斜面顶端 A 处以速度 0 v水平抛出一小球 落在斜面上的某一点 B 处 设空气阻力 不计 求 1 小球从 A 运动到 B 处所需的时间和位移 2 从抛出开始计时 经过多长时间小球离斜面的距离达到最大 例 6 如图所示 有一个很深的竖直井 井的横截面为一个圆 半径为 R 且井壁光滑 有一个小球 从井口的一侧以水平速度 0 v抛出与井壁发生碰撞 撞后以原速率被反弹 求小球与井壁发生第n次碰 撞处的深度 图 4 图 5 图 6 第 7 页 3 类型题类型题 匀速圆周运动的基本解法练习 匀速圆周运动的基本解法练习 例 7 在高速公路的拐弯处 路面造得外高内低 即当车向右拐弯时 司机左侧的路面比右侧的要高 一些 路面与水平面间的夹角为 设拐弯路段是半径为 R 的圆弧 要使车速为v时车轮与路面之间 的横向 即垂直于前进方向 摩擦力等于零 应等于 A Rg v2 sin arc B Rg v2 tgarc C Rg v22 sin arc 2 1 D Rg v2 ctg arc 4 类型题类型题 竖直面上圆周运动竖直面上圆周运动 圆周运动的临界问题 圆周运动的临界问题 例 8 如图 细杆的一端与一小球相连 可绕过 O 点的水平轴自由转动现给小球一初速度 使它做圆 周运动 图中 a b 分别表示小球轨道的最低点和最高点 则杆对球的作用力可能是 A a 处为拉力 b 处为拉力 B a 处为拉力 b 处为推力 C a 处为推力 b 处为拉力 D a 处为推力 b 处为推力 练习 如图 11 所示 半径 R 0 40 m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内 半圆环与光滑的水平地面 相切于圆环的端点 A 一质量 m 0 10 kg 的小球 以初速度 v0在水平地面上向左匀速直线运动 冲上 竖直半圆环后恰好通过 B 点 最后小球落在 C 点 求 A C 间的距离 取重力加速度 g 10 m s2 图 7 图 8 第 8 页 5 类型题类型题 圆周运动中的多解问题圆周运动中的多解问题 由于圆周运动的周期性 往往会导致一个问题的多解 例 9 如图所示 某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动 筒壁上有两个位于同一圆平面内 的小孔 A B A B 与轴的垂直连线之间的夹角为 一质点 质量不计 在某时刻沿 A 孔所在直径 方向匀速射入圆筒 恰从 B 孔穿出 若质点匀速运动的速度为 v 圆筒半径 为 R 则 圆筒转动的角速度为 说明 由于圆周运动的周期性 圆筒转过的角度可能为 2 n n 2 3 练习 如图所示 半径为 R 的圆板做匀速运动 当半径 OB 转到某一方向时 在圆板中心正上方 h 处以平行于 OB 方向水平抛出一球 小球抛出时的速度及圆盘转动的角速度为多少时 小球与圆盘只 碰撞一次 且落点为 B 提示 要注意到圆盘转动的周期性 图 9 图 10 第 9 页 参考答案参考答案 二 典型例题二 典型例题 例 1 ABC 例 2 BCD 例 3 24 7 xd 例4 0 tan