数学：数列中由递推关系求数列的通项题型归类

高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 数列中由递推关系求数列的通项题型归类数列中由递推关系求数列的通项题型归类 新教材明确指出 数列可以由其递推关系式及前几项给定 根据递推关系求解通项 除 用计算 猜想 证明的思路外 通常还可以对某些递推关系式进行变换 从而转化成等差 等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决 下面分类说明这些常见的递推关系的类型及 其解法 1 类型一类型一 其中 d 是常数 daa nn 1 显然 由知 是等差数列 则daa nn 1n adnaan 1 1 2 类型二类型二 其中 q 是不为 0 的常数 qaa nn 1 显然 则知 是等比数列 于是q a a n n 1 n a 1 1 n n qaa 3 类型三类型三 方法 叠加法方法 叠加法 1 nfaa nn 例 1 在数列 中 且 求 n a1 1 a n nn aa2 1 n a 解 由得 n nn aa2 1 1 12 2 aa 2 23 2 aa 1 1 2 n nn aa 由上面等式叠加得 22 21 222 2 22 1 121 1 n n n n aa 故 12 n n a 4 类型四类型四 方法 叠乘法方法 叠乘法 nn anfa 1 例 2 在数列 中 且 求 n a2 1 a nn anna 2 1 n a 解 由已知得 则有 n n a a n n 2 1 1 3 1 2 a a 2 4 2 3 a a 3 5 3 4 a a 这 个等式叠乘得 则 2 2 1 n n a a n n 1 1 1 n n a a n n 1 n 21 1 1 nn a an 1 nnan 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 5 类型五类型五 其中 p q 是常数 且 方法 参数法方法 参数法qpaa nn 1 0 p 例 3 已知数列 满足 且 求 n a 2 23 1 naa nn 4 1 a n a 解 引入参数 c 令 即 与已知 3 1 caca nn caa nn 23 1 23 1 nn aa 比较知 c 1 于是有 即数列 1 是以为首项 3 为公比的等比3 1 1 1 n n a a n a31 1 a 数列 则 故 1 331 n n a13 n n a 6 类型六类型六 1 nfpaa nn 1 若 其中 k b 是常数 且 方法 升降足标法方法 升降足标法 nfbkn 0 k 例 4 在数列 中 且满足 求 n a1 1 anaa nn 23 1 n a 解 两式相减得 naa nn 23 1 1 23 1 naa nn 令 则 利用类型五的方法知 2 3 11 nnnn aaaa nnn aab 1 23 1 nn bb 即 再利用类型三的方法知 135 1 n n b135 1 1 n nn aa 亦可联立 解出 2 1 3 2 5 1 na n n 2 1 3 2 5 1 na n n 2 若 其中 r 是常数 且 方法 两边同乘方法 两边同乘 nf n r 1 0 r 1 1 n r 例 5 在数列 中 且满足 求 n a1 1 a n nn aa36 1 n a 解 将已知的两边同乘 得 n nn aa36 1 1 3 1 n 3 1 3 2 3 1 1 n n n n aa 令 则 利用类型五的方法知 则 n n n a b 3 3 1 2 1 nn bb 3 1 3 2 n n b 1 3 3 6 n n n a 7 类型七类型七 其中 p q 是不为 0 的常数 方法 倒数法方法 倒数法 qn n n pa qa a 1 例 6 数列 中 若 求 n a1 1 a 2 2 1 n n n a a a n a 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 解 即数列 是以为首项 2 2 1 n n n a a a 2 11 2 21 1 nn n n aa a a n a 1 1 1 1 a 为公差的等差数列 则 即 2 1 2 1 1 1 1 n an1 2 n an 变式变式 若类型七变为的结构时 仍可使用倒数法倒数法 qpa ra a n n n 1 例 7 在数列 中 若 求 n a1 1 a 22 3 1 n n n a a a n a 解 令 则 22 3 1 n n n a a a 3 21 3 2 3 221 1 nn n n aa a a n n a b 1 利用类型五知 则 3 2 3 2 1 nn bb 1 3 2 2 n n b 1 3 2 2 1 n n a 8 类型八类型八 其中 p r 为常数 且 r nn apa 1 0 0 n ap 方法 对数法方法 对数法 例 8 在数列 中 若 求 n a3 1 a 2 1nn aa n a 解 由 知 对两边取以 3 为底的对数得 3 1 a 2 1nn aa 0 n a 2 1nn aa 则数列 是以为首项 2 为公比的等比数列 nn aa 33 log2log 1 n a 3 log1log 1 3 a 则 即 11 3 221log nn an 1 2 3 n n a 9 类型九类型九 其中 p q 为常数 且 11 nnn qapaa1 qp 方法 转化法方法 转化法 例 9 数列 中 若 且满足 求 n a8 1 a2 2 a034 12 nnn aaa n a 解 把变形为 则数列034 12 nnn aaa 3 112nnnn aaaa 是以为首项 3 为公比的等比数列 则 nn aa 1 6 12 aa 1 1 36 n nn aa 利用类型三的方法可得 n n a311 变式变式 若结构变为 其中 p q 为常数 且满足 nnn qapaa 12 04 2 qp 方法 待定系数法方法 待定系数法 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 例 10 已知数列 满足 且 求 n a065 12 nnn aaa1 1 a5 2 a n a 解 令 即 与已知 112nnnn aaaa 0 12 nnn aaa 比较 则有 故或065 12 nnn aaa 6 5 3 2 2 3 下面我们取其中一组来运算 另一组同学们自己练习 即有3 2 则数列 是以为首项 3 为公比的 2 32 112nnnn aaaa nn aa2 1 32 12 aa 等比数列 故 即 利用类型六 2 的方法 可 nn nn aa3332 1 1 n nn aa32 1 得 nn n a23 十十 类型十类型十 递推关系由与的关系给出 n a n S 方法 运用方法 运用互化解决互化解决 2 1 1 1 nSS nS a nn n 例 11 已知数列 的前 n 项的和为 且满足 n a n S 2 02 1 nSSa nnn 又 求 2 1 1 a n a 解 时 有 由 得2 n 1 nnn SSa02 1 nnn SSa 11 2 nnnn SSSS 即 亦即 故数列 是以为首项 2 为公差的等2 1 1 nn nn SS SS 2 11 1 nn SS n S 1 2 1 1 a 差数列 则nn Sn 22 1 2 1 n Sn 2 1 故当时 2 n 1 2 1 1 2 1 2 1 1 nnnn SSa nnn 显然上式对时不成立 则1 n 2 1 2 1 1 2 1 n nn n an 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 十一十一 其它类型其它类型 例 12 数列 中 求 n a1 1 a 4 1 1 nnn aaa n a 解 由知 即有 4 1 1 nnn aaa0 2 1 2 1 nn aa 2 1 1 nn aa 故数列 是以为首项 为公差的等差数列 从而 n a1 1 a 2 1 则 2 1 2 1 1 1 n nan 2 2 1 n an 评注 方法是配方法配方法 例 13 设数列 是首项为 1 的正项数列 且满足 n a 求 0 1 1 22 1 nnnn aanaan n a 解 原递推式可以分解为0 1 11 nnnn naanaa 由于 则有 故知 利用类型四的方法可解出0 n a0 1 nn aa nn a n n a 1 1 n an 1 评注 方法是因式分解法因式分解法 例 14 已知数列 中 数列 中 且当时 n a1 1 a n b1 1 b2 n 求 2 3 1 11 nnn baa 2 3 1 11 nnn bab n a n b 解 由于 2 3 1 11 nnn baa 2 3 1 11 nnn bab 两式相加得 11 nnnn baba 再由两式相减得 这表明数列 是以为首项 3 1 11 nnnn baba nn ba 1 11 ba 为公比的等比数列 则 3 1 1 3 1 n nn ba 联立 解之得 3 1 1 2 1 1 n n a 3 1 1 2 1 1 n n b 评注 方法是加减法加减法 例 15 已知数列 中 其中 n a1 1 a k kk aa 1 122 k kk aa3 212 求 3 2 1 k n a 解 由知 再由知 k kk aa3 212 1 2212 3 k kk aa k kk aa 1 122 于是 则 1 3222 1 k kk aa 11 3212 1 3 kk kk aa 13112 aaaa k 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 321235 kk aaaa 112211 1 3 1 3 1 31 nk 1210 1 1 1 1 k 121 333 k 2 13 3 2 1