【冲击高分系列】2014年高考数学(文)难题专项训练数列.doc

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：数列1.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列满足，则当取最小值时的值为()A. 或B. C. D. 或2.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()A. 6B. 7C. 8 D. 103.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是（）A. 若，则可以取3个不同的值B. 若，则数列是周期为的数列C. 且，存在，是周期为的数列 D. 且，数列是周期数列4.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，9,5分）等差数列前项和为，已知 则( ）A. B. C. D. 5. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,7，3分)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且，若有穷数列（）的前n项和等于，则n等于()A4B5C6D76. (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为( )7.(2012河南省毕业班模拟，11,5分)已知F1，F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF290，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A2 B3 C4 D58.(2009江西, 8, 5分) 数列an的通项an=n2, 其前n项和为Sn, 则S30为()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列，的前n项和分别为 ，. 若a5b5，a6b6，且S7S54（T6T4），则_.10.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则 ； .11. (2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值（）若，则的峰值为；（）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是12. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，13.(2012河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限的. 此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,的通项公式an=. 111111123456135791114710131615913172114.(2012四川,16,4分)记x为不超过实数x的最大整数. 例如,2=2,1. 5=1,-0. 3=-1. 设a为正整数,数列xn满足x1=a,xn+1=(nN*). 现有下列命题:当a=5时,数列xn的前3项依次为5,3,2;对数列xn都存在正整数k,当nk时总有xn=xk;当n1时,xn-1;对某个正整数k,若xk+1xk,则xk=. 其中的真命题有. (写出所有真命题的编号)15.(2008江苏, 10, 5分) 将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415根据以上排列规律, 数阵中第n(n3) 行的从左至右的第3个数是. 16.(2009湖南, 15, 5分) 将正ABC分割成n2(n2, nN*) 个全等的小正三角形(图1, 图2分别给出了n=2, 3的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为f(n) , 则有f(2) =2, f(3) =, , f(n) =. 图1图217.(2011湖南, 16, 5分) 对于nN*, 将n表示为n=a02k+a12k-1+a22k-2+ak-121+ak20, 当i=0时, ai=1, 当1ik时, ai为0或1. 记I(n) 为上述表示中ai为0的个数(例如:1=120, 4=122+021+020, 故I(1) =0, I(4) =2) , 则(1) I(12) =;(2) 2I(n) =. 18.(2011江苏, 13, 5分) 设1=a1a2a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是. 19.(2009上海, 12, 4分) 已知函数f(x) =sin x+tan x. 项数为27的等差数列an满足an, 且公差d0. 若f(a1) +f(a2) +f(a27) =0, 则当k=时, f(ak) =0. 20.(2007湖南, 15, 5分) 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0-1三角数表. 从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行, , 第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是. 第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行11001121.(2008北京, 14, 5分) 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk, yk) 处, 其中x1=1, y1=1, 当k2时, T(a) 表示非负实数a的整数部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为;第2 008棵树种植点的坐标应为. 22.(2009湖北, 15, 5分) 已知数列an满足:a1=m(m为正整数) , an+1=若a6=1, 则m所有可能的取值为.23.(2010湖南, 15, 5分) 若数列an满足:对任意的nN*, 只有有限个正整数m使得amn成立, 记这样的m的个数为(an) *, 则得到一个新数列(an) *. 例如, 若数列an是1, 2, 3, , n, , 则数列(an) *是0, 1, 2, , n-1, . 已知对任意的nN*, an=n2, 则(a5) *=, (an) *) *=. 24.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a，Sn=kan+1且常数k满足0 |k| 1.(I) 求数列an的通项公式；(II) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项am+1，am+2，am+3按从小到大的顺序调整 后，均可构成等差数列，且记公差为dm，试求k的值及相应dm的表达式(用含m的 式子表示) ；(III) 记数列dm (这里dm是(2) 中的dm的前m项和为Tm=d1+d2+dm. 问是否存在 a, 使得Tm0)的图像上有不同的四点A，B，C，D，若xA，xB，xC，xD分别是这四点的横坐标，且xA+xB=xC+xD，则ABCD.判定这个命题的真假，并证明你的结论.(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线，根据(2)中的结论，对椭圆提出一个有深度的结论，并证明.38. (2012天津十二区县联考，19,14分)已知数列的首项，前项和为，且，设，.（）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（II）设，证明：；（）对于（）中数列，若数列满足（），在每两个与之间都插入（）个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数,使得数列的前项的和?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.39.(2012湖南,19,12分)已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2,n=1,2,. (1)若a1=1,a2=5,且对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列an的通项公式;(2)证明:数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. 40.(2012大纲全国,22,12分)函数f(x)=x2-2x-3. 定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn, f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2xnn+10) , 因此, 历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为d的等差数列. 与此同时, 国家给予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利. 这就是说, 如果固定年利率为r(r0) . 那么, 在第n年末, 第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r) n-1, 第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r) n-2, . 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. () 写出Tn与Tn-1(n2) 的递推关系式;() 求证:Tn=An+Bn, 其中An是一个等比数列, Bn是一个等差数列. 44.(2008北京, 20, 13分) 对于每项均是正整数的数列A:a1, a2, , an, 定义变换T1, T1将数列A变换成数列T1(A) :n, a1-1, a2-1, , an-1. 对于每项均是非负整数的数列B:b1, b2, , bm, 定义变换T2, T2将数列B各项从大到小排列, 然后去掉所有为零的项, 得到数列T2(B) ;又定义S(B) =2(b1+2b2+mbm) +. 设A0是每项均为正整数的有穷数列, 令Ak+1=T2(T1(Ak) ) (k=0, 1, 2, ) . () 如果数列A0为5, 3, 2, 写出数列A1, A2;() 对于每项均是正整数的有穷数列A, 证明:S(T1(A) ) =S(A) ;() 证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0, 存在正整数K, 当kK时, S(Ak+1) =S(Ak) . 45.(2008湖南, 18, 12分) 数列an满足a1=1, a2=2, an+2=an+sin2, n=1, 2, 3, . () 求a3, a4, 并求数列an的通项公式;() 设bn=, Sn=b1+b2+bn. 证明:当n6时, |Sn-2|.46. (2008天津, 22, 14分) 在数列an与bn中, a1=1, b1=4, 数列an的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3) Sn=0, 2an+1为bn与bn+1的等比中项, nN*. () 求a2, b2的值;() 求数列an与bn的通项公式;() 设Tn=(-1b1+(-1b2+(-1bn, nN*. 证明:|Tn|2n2, n3. 47.(2008上海, 21, 18分) 已知以a1为首项的数列an满足:an+1=() 当a1=1, c=1, d=3时, 求数列an的通项公式;() 当0a11, c=1, d=3时, 试用a1表示数列an前100项的和S100;() 当0a10, 对任意的nN*, 恒有|un+1-un|+|un-un-1|+|u2-u1|M, 则称数列un为B-数列. () 首项为1, 公比为q(|q|1) 的等比数列是否为B-数列?请说明理由;() 设Sn是数列xn的前n项和. 给出下列两组论断:A组:数列xn是B-数列, 数列xn不是B-数列;B组:数列Sn是B-数列, 数列Sn不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件, 另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假, 并证明你的结论;() 若数列an、bn都是B-数列. 证明:数列anbn也是B-数列. 49.(2009四川, 22, 14分) 设数列an的前n项和为Sn, 对任意的正整数n, 都有an=5Sn+1成立, 记bn=(nN*) . () 求数列bn的通项公式;() 记cn=b2n-b2n-1(nN*) , 设数列cn的前n项和为Tn, 求证:对任意正整数n, 都有Tna2k-1, 求c的取值范围. 53. (2010天津, 22, 14分) 在数列an中, a1=0, 且对任意kN*, a2k-1, a2k, a2k+1成等差数列, 其公差为dk. () 若dk=2k, 证明a2k, a2k+1, a2k+2成等比数列(kN*) ;() 若对任意kN*, a2k, a2k+1, a2k+2成等比数列, 其公比为qk. (i) 设q11, 证明是等差数列;(ii) 若a2=2, 证明0, 数列an满足a1=b, an=(n2) . () 求数列an的通项公式;() 证明:对于一切正整数n, an+1. 57.(2011江苏, 20, 16分) 设M为部分正整数组成的集合, 数列an的首项a1=1, 前n项的和为Sn, 已知对任意的整数kM, 当整数nk时, Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) 都成立. () 设M=1, a2=2, 求a5的值;() 设M=3, 4, 求数列an的通项公式. 58. (2011北京, 20, 13分) 若数列An:a1, a2, , an(n2) 满足|ak+1-ak|=1(k=1, 2, , n-1) , 则称An为E数列. 记S(An) =a1+a2+an. () 写出一个满足a1=a5=0, 且S(A5) 0的E数列A5;() 若a1=12, n=2 000, 证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2 011;() 对任意给定的整数n(n2) , 是否存在首项为0的E数列An, 使得S(An) =0?如果存在, 写出一个满足条件的E数列An;如果不存在, 说明理由. 59.(2011上海, 22, 18分) 已知数列an和bn的通项公式分别是an=3n+6, bn=2n+7(nN*) . 将集合x|x=an, nN*x|x=bn, nN*中的元素从小到大依次排列, 构成数列c1, c2, , cn, . () 写出c1, c2, c3, c4;() 求证:在数列cn中、但不在数列bn中的项恰为a2, a4, , a2n, ;() 求数列cn的通项公式. 60.(2007全国, 22, 12分) 已知数列an中a1=2, an+1=(-1) (an+2) , n=1, 2, 3, . () 求an的通项公式;() 若数列bn中b1=2, bn+1=, n=1, 2, 3, , 证明:1, 且6Sn=(an+1) (an+2) , nN*. () 求an的通项公式;() 设数列bn满足an(-1) =1, 并记Tn为bn的前n项和, 求证:3Tn+1log2(an+3) , nN*. 63.(2008山东, 19, 12分) 将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1, a2, a4, a7, 构成的数列为bn, b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和, 且满足=1(n2) . () 证明数列成等差数列, 并求数列bn的通项公式;() 上表中, 若从第三行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 且公比为同一个正数. 当a81=-时, 求上表中第k(k3) 行所有项的和. 64.(2009天津, 22, 14分) 已知等差数列an的公差为d(d0) , 等比数列bn的公比为q(q1) . 设Sn=a1b1+a2b2+anbn, Tn=a1b1-a2b2+(-1) n-1anbn, nN*. () 若a1=b1=1, d=2, q=3, 求S3的值;() 若b1=1, 证明:(1-q) S2n-(1+q) T2n=, nN*;() 若正整数n满足2nq, 设k1, k2, , kn和l1, l2, , ln是1, 2, , n的两个不同的排列, c1=b1+b2+bn, c2=b1+b2+bn, 证明:c1c2. 65.(2009重庆, 21, 12分) 设m个不全相等的正数a1, a2, , am(m7) 依次围成一个圆圈. () 若m=2 009, 且a1, a2, , a1 005是公差为d的等差数列, 而a1, a2 009, a2 008, , a1 006是公比为q=d的等比数列;数列a1, a2, , am的前n项和Sn(nm) 满足:S3=15, S2 009=S2 007+12a1, 求通项an(nm) ;() 若每个数an(nm) 是其左右相邻两数平方的等比中项, 求证:a1+a6+ma1a2am. 66. (2009北京, 20, 13分) 已知数集A=a1, a2, , an(1a1a2an, n2) 具有性质P:对任意的i, j(1ijn) , aiaj与两数中至少有一个属于A. () 分别判断数集1, 3, 4与1, 2, 3, 6是否具有性质P, 并说明理由;() 证明:a1=1, 且=an;() 证明:当n=5时, a1, a2, a3, a4, a5成等比数列. 67. (2010全国, 22, 12分) 已知数列an中, a1=1, an+1=c-. () 设c=, bn=, 求数列bn的通项公式;() 求使不等式anan+13成立的c的取值范围.68.(2011天津, 20, 14分) 已知数列an与bn满足bnan+an+1+bn+1an+2=0, bn=, nN*, 且a1=2, a2=4. () 求a3, a4, a5的值;() 设cn=a2n-1+a2n+1, nN*, 证明cn是等比数列;() 设Sk=a2+a4+a2k, kN*, 证明1, 试写出所有项数不超过2m的“对称数列”, 使得1, 2, 22, , 2m-1成为数列中的连续项;当m1 500时, 试求其中一个数列的前2 008项和S2 008. 71.(2008江苏, 19, 16分) () 设a1, a2, , an是各项均不为零的n(n4) 项等差数列, 且公差d0. 若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序) 是等比数列. (i) 当n=4时, 求的数值;(ii) 求n的所有可能值. () 求证:对于给定的正整数n(n4) , 存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1, b2, , bn, 其中任意三项(按原来顺序) 都不能组成等比数列. 72.(2009湖北, 19, 13分) 已知数列an的前n项和Sn=-an-+2(n为正整数) . () 令bn=2nan, 求证数列bn是等差数列, 并求数列an的通项公式;() 令cn=an, Tn=c1+c2+cn, 试比较Tn与的大小, 并予以证明. 73.(2010江苏, 19, 16分) 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn. 已知2a2=a1+a3, 数列是公差为d的等差数列. () 求数列an的通项公式(用n, d表示) ;() 设c为实数, 对满足m+n=3k且mn的任意正整数m, n, k, 不等式Sm+SncSk都成立, 求证:c的最大值为.74.(2010江西, 22, 14分) 证明以下命题:() 对任一正整数a, 都存在正整数b, c(b0, an-, n=1, 2, ;() 证明:a1+a2+an. 79.(2009江西, 22, 14分) 各项均为正数的数列an, a1=a, a2=b, 且对满足m+n=p+q的正整数m, n, p, q都有= . () 当a=, b=时, 求通项an;() 证明:对任意a, 存在与a有关的常数, 使得对于每个正整数n, 都有an. 答案1.A2.A 3.D 4.B 5. B 6. C 7.D 8. A 9. 10.36；3981 11.（）10；（）或， 12. 13.n2-2n+2 14.15.16.;(n+1) (n+2)17.(1) 2(2) 1 093 18. 19.1420.2n-1;3221.(1, 2) ;(3, 402) 22.4, 5, 32 23.2;n2 24.(1) ，. 此两式相减，得，化简得.又，是公比为，首项为的等比数列.() . 又时，通项公式 （2）是正整数，.又按从小到大顺序调整后可以构成等差数列，所以公差.若，解得. 于是，. 若，此时方程无解，即不符合题意.若，解得. 于是，. 综上，若，则；若，则.(3) 因为，若，则.由，即对一切正整数成立，故. 这与是正整数矛盾.所以，此时不存在满足条件的.若，则.由，即对一切正整数成立，得.所以，.综上，可知存在满足条件的正整数，且的最大值为40.25.由题知，即得.又由，解得.椭圆E的方程为：.假设存在以原点为圆心，为半径的圆满足条件.若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，由消去，整理得.设，有又，算得，化简得, 进一步解得.所求圆的方程为.当AB的斜率不存在时，, 有，代入. 此时仍有. 综上，总存在以原点为圆心的圆：满足题设条件.因点A在椭圆上，故设，代入椭圆方程，得.又由于，可设,同理，得.所以，为定值. 26.（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a， a0，f（x）=ex-a=0的解为x=lnaf（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， f（x）0对一切xR恒成立，-alna0，alna0，amax=1（）设是任意的两实数，且，故，不妨令函数，则上单调递增.，恒成立.=.故. 9分（）由（1） 知exx+1，取x=, 得1- 即 .累加得( 故存在正整数a=2使得.27.（）因为为非零整数）,故或，所以点的相关点有8个.又因为，即.所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上.（）依题意与重合,则，,即，,两式相加得. （*）因为,故为奇数.于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数.（）令，依题意，因为.因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大.而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大;而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大.当时，令所有的都为1，都取2，则.当时，若，此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大; 此时=.若, 令, 其余的中有个，个1.相应的，对于，有, 其余的都为2，则.当时，令则相应的取则=+.综上，28.（）由题意知， ，.4分（），检验知，满足，又，数列是首项为1，公差等于1的等差数列，数列的通项公式. 7分（）由（）知，=，又=，=，又，.12分29.()因为，所以不具有性质P.因为，所以具有性质P. 4分()因为集合具有性质P：即对任意的，使得成立，又因为，所以，所以，所以，所以，6分将上述不等式相加得，所以. 9分()首先注意到，由（）知，又有性质P知数集A的元素都是整数.则可以设满足性质P的集合，或，此时集合A中所有元素的和为147.下面，我们证明147是集合A中所有元素和的最小值.假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）.第一步：首先说明集合中至少有个元素: 由()可知，又，所以，所以.第二步：证明，：先证明：若，则，设，为了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，使得，显然, 所以，而此时集合中至少还有5个不同于的元素，从而，矛盾，所以，进而，且；同理可证，.即.则.根据性质P，有，使得，我们需要考虑如下几种情形：, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，此时；，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，此时；，此时集合的和是147；，此时集合的和是147. 综上所得，数集中所有元素的和的最小值是147. 14分30.（1）当时，解得当时，即又为常数，且，数列是首项为1，公比为的等比数列4分（2）由（1）得，是首项为，公差为1的等差数列，（）9分（3）由（2）知，则， ， 得， 14分： 31.（）（1），.即.-（3分）（2）由（1）得 .数列是以1 为公差的等差数列. -（5分）（），.，.（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明：假设则，当时，与（）矛盾.所以假设不成立，所以.假设则，当时，与（）矛盾.所以假设不成立，所以.，. 又，是公比为的等比数列.假设，则，则.又，即，解得.中至少有两项相同，这与矛盾，所以假设不成立，. .-（10分）32.( 1)设等差数列的公差为,则有解得，数列是以为首项,公比为的等比数列. 4分(2)由(1)可得，得， 10分(3)，当时, 取最小值,，即，当时，恒成立；当时，由，解得,即实数的取值范围是. 14分 33.（）由题意得，创新数列为，的所有数列有两个，即数列，；或数列，. 4分（）存在数列，使它的创新数列为等差数列.理由如下：设数列的创新数列为，是中的最大值，.由题意知，为中最大值，为中的最大值，所以，且.假设数列为等差数列，设其公差为，则且，当时，为常数列，又，数列为，.即此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列；8分当时，为，.此时数列为，；10分当时，=，即又，这与矛盾，即此时假设不成立，不是等差数列.即此时不存在使得它的创新数列为公差的等差数列. 13分综上所得，存在数列：为以为首项的任意一个符合条件的数列，或为数列，时，它的创新数列为等差数列： 34.()，3分，. 5分()方程有且只有一个实根. 理由如下：6分由()知，令,，又，所以在上至少有一个实根. 7分又,函数在R上单调递减,函数在R上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根. 9分()，又，.猜测,即数列是单调递增数列. 11分以下用数学归纳法证明且时,成立.(1)当时,显然有成立.(2)假设时,命题成立，即12分则时,，又在上是增函数，即时,命题成立. 13分综合(1) ,(2)，且时, 成立. 数列为单调递增数列. 14分21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分）选修42：矩阵与变换已知向量在矩阵变换下得到的向量是（）求的值；（）求曲线在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线方程解析考察专题：19；难度：容易（），=13分（），4分设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作