双曲线知识点归纳总结

精品文档 1欢迎下载 第二章第二章 2 32 3 双曲线双曲线 双曲线 标准方程 焦点在轴 x 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 标准方程 焦点在轴 y 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 第一定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值是常数 小于 的 1 F 2 F 12 FF 点的轨迹叫双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点的距离叫焦距 aMFMFM2 21 21 2FFa 第二定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离的比是常数 当时 Fle1e 动点的轨迹是双曲线 定点叫做双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常F 数 叫做双曲线的离心率 e1e 定义 范围 xa yR ya xR 对称轴 轴 轴 实轴长为 虚轴长为xy2a2b 对称中 心 原点 0 0 O 1 0 Fc 2 0 F c 1 0 Fc 2 0 Fc 焦点坐 标 焦点在实轴上 焦距 22 cab 12 2FFc 顶点坐 标 0 0 a a 0 0 a a 离心率1 e a c e x y P P 1 F 2 F x y P P x y P P 1 F 2 F x y x y P P 1 F 2 F x y x y P P 1 F 2 F x y P P 精品文档 2欢迎下载 c a x 2 c a y 2 准线方 程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧 两准线间的距离 c a22 顶点到 准线的 距离 顶点 到准线 的距离为 1 A 2 A 1 l 2 l c a a 2 顶点 到准线 的距离为 1 A 2 A 2 l 1 l a c a 2 焦点到 准线的 距离 焦点 到准线 的距离为 1 F 2 F 1 l 2 l c a c 2 焦点 到准线 的距离为 1 F 2 F 2 l 1 l c c a 2 渐近线 方程 x a b y x b a y 共渐近 线的双 曲线系 方程 k b y a x 2 2 2 2 0k k b x a y 2 2 2 2 0k 1 1 双曲线的定义双曲线的定义 1 当 MF1 MF2 2a时 则表示点在双曲线右支上 M 当时 则表示点在双曲线左支上 aMFMF2 12 M 2 注意定义中的 小于 这一限制条件 其根据是 三角形两 12 FF 边之和之差小于第三边 若 2a 2 时 即 当 动点轨迹是以为端点向c 2121 FFMFMF 2121 FFMFMF 2 F 右延伸的一条射线 当时 动点轨迹是以为端点向左延伸的 2112 FFMFMF 1 F 一条射线 若 2a 2 时 动点轨迹不存在 c 2 2 双曲线的标准方程判别方法是 双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 2 x 如果项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 2 y 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样 通过比较分母的大小来判 断焦点在哪一条坐标轴上 3 3 双曲线的内外部双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 4 4 形如形如的方程可化为的方程可化为 0 1 22 ABByAx 1 11 22 B y A x 精品文档 3欢迎下载 A2 F24 当 双曲线的焦点在轴上 0 1 0 1 BA y 当 双曲线的焦点在轴上 0 1 0 1 BA x 5 5 求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定 系数法求解 6 6 离心率与渐近线之间的关系离心率与渐近线之间的关系 2 2 2 22 2 2 2 1 a b a ba a c e 1 1 2 2 2 1 a b e1 2 e a b 7 7 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 x 轴上 焦点在 y 轴上 0 4 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 5 与双曲线共焦点的双曲线系方程是1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 kb y ka x 6 当离心率两渐近线互相垂直 分别为 y 此时双曲 时 ba2 e x 线为等轴双曲线 可设为 22 yx 8 8 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 程是 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线 22 22 1 0 0 xy ab ab 相切的条件是 0AxByC 22222 A aB bc 精品文档 4欢迎下载 9 9 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系 直线 双曲线 C 0 0 l 0 mmkxy1 2 2 2 2 b y a x ab 1 2 2 2 2 b y a x mkxy 02 222222222 bamamkxaxkab 1 1 当 即时 直线 与双曲线的渐进线 平行平行 直线与0 222 kab a b k l 双曲线 C 相交相交于一点 2 2 当 b2 a2k2 0 即时 2a2mk 2 4 b2 a2k2 a2k2 a2m2 a2b2 a b k 1 时 直线 与双曲线相交相交 有两个公共点0 l 2 时 直线 与双曲线相切相切 有且仅有一个公共点0 l 3 时 直线 与双曲线相离相离 无公共点0 l 3 3 直线与双曲线只有一个公共点 则直线与双曲线必相切吗 为什么 不一定 10 10 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线 双曲线 C 0 0 l 0 mmkxy1 2 2 2 2 b y a x ab 1 1 联立方程法 联立方程法 1 2 2 2 2 b y a x mkxy 02 222222222 bamamkxaxkab 设交点坐标为 则有 以及 还可进一步求 11 yxA 22 yxB0 2121 xxxx 出 mxxkmkxmkxyy2 212121 2 2121 2 2121 mxxkmxxkmkxmkxyy 在涉及弦长 中点 对称 面积等问题时 常用此法 比如 a a 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 21 2 21 2 21 2 4 11xxxxkxxkAB a k 2 1 精品文档 5欢迎下载 或 21 2 21 2 21 2 4 1 1 1 1yyyy k yy k AB a k 2 1 b 中点中点 00 yxM 2 21 0 xx x 2 21 0 yy y 2 2 点差法 点差法 设交点坐标为 代入双曲线方程 得 11 yxA 22 yxB 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 将两式相减 可得 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 21 2 21 2 21 21 yya xxb xx yy a 在涉及斜率问题时 在涉及斜率问题时 21 2 21 2 yya xxb kAB b 在涉及中点轨迹问题时在涉及中点轨迹问题时 设线段的中点为 AB 00 yxM 0 2 0 2 0