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临界极值问题 牛二应用 7 1 临界状态 物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时 中间发生质的飞跃的转折状态 通常称之为临界状态 临界问题 涉及临界状态的问题叫做临界问题 临界问题 2 例1 在水平向右运动的小车上 有一倾角 370的光滑斜面 质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住而静止于斜面上 如图所示 当小车以 a1 g a2 2g的加速度水平向右运动时 绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大 例题分析 3 解 易见 支持力FN随加速度a的增大而减小当a gcot 4g 3时 支持力FN 0小球即将脱离斜面 则沿x轴方向Fcos FNsin ma沿y轴方向Fsin FNcos mg 取小球为研究对象并受力分析 建立正交坐标系 将a1 g a2 2g分别代入得a1 g时 F 7mg 5 FN mg 5a2 2g时 F 11mg 5 FN 2mg 5 a 例题分析 4 例题分析 支持力FN随加速度a的增大而减小当a gcot 4g 3时 支持力FN 0小球即将脱离斜面 5 当小车加速度a 4g 3时 小球已飘离斜面 如图所示得 将a a2 2g代入得F mg 小结 相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力刚好为零 例题分析 6 拓展 上述问题中 若小车向左加速运动 试求加速度a g时的绳中张力 简析 则沿x轴方向FNsin Fcos ma沿y轴方向FNcos Fsin mg 例题分析 7 例题分析 8 拓展 上述问题中 若小车向左加速运动 试求加速度a g时的绳中张力 简析 则沿x轴方向FNsin Fcos ma沿y轴方向FNcos Fsin mg 例题分析 F的负号表示绳已松弛 故F 0 此时a gtan 3g 4 而a g 故绳已松弛 绳上拉力为零 小结 绳子松弛的临界条件是 绳中拉力刚好为零 9 例2 如图所示 质量均为M的两个木块A B在水平力F的作用下 一起沿光滑的水平面运动 A与B的接触面光滑 且与水平面的夹角为60 求使A与B一起运动时的水平力F的范围 分析 当水平推力F很小时 A与B一起作匀加速运动 当F较大时 B对A的弹力竖直向上的分力等于A的重力时 地面对A的支持力为零 此后 物体A将会相对B滑动 显而易见 本题的临界条件就是水平力F为某一值时 恰好使A沿AB面向上滑动 即物体A对地面的压力恰好为零 10 解 当水平力F为某一值时 恰好使A沿AB面向上滑动 即物体A对地面的压力恰好为零 受力分析如图对整体 隔离A 联立上式解得 水平力F的范围是 0 F 11 例3 有一质量M 4kg的小车置于光滑水平桌面上 在小车上放一质量m 6kg的物块 动摩擦因素 0 2 现对物块施加F 25N的水平拉力 如图所示 求小车的加速度 设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g取10m s2 则两者保持相对静止的最大加速度为am fm M mg M 3m s2 解 当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦力时 对小车水平方向受力分析如图 12 再取整体为研究对象受力如图 而a 2 5m s2 am 3m s2木块与小车保持相对静止 得 a Fm M m 2 5m s2 故系统的加速度a F M m 2 5m s2 Fm 小结 存在静摩擦的连接系统 当系统外力大于最大静摩擦力时 物体间不一定有相对滑动 相对滑动与相对静止的临界条件是 静摩擦力达最大值 13 解决临界问题的基本思路 1 认真审题 仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程 找出临界状态 2 寻找变化过程中相应物理量的变化规律 找出临界条件 3 以临界条件为突破口 列临界方程 求解问题 14 三类临界问题的临界条件 1 相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是 2 绳子松弛的临界条件是 3 存在静摩擦的连接系统 当系统外力大