高等数学-高数复习2

高等数学总复习,（第二学期）,一、向量代数,1.模和方向余弦,2.数量积 (点积、内积),两向量夹角余弦：,3.向量积 (叉积、外积),4.混合积,1.平面,点法式方程：,一般方程：,二、空间解析几何,截距式方程:,2.空间直线,一般方程,对称式(点向式)方程,参数方程,3.空间曲面,曲面方程:,常见柱面：,方程中缺少一个变量。,旋转曲面：,方程的形成及特征。,常见二次曲面的形状：球面、抛物面、柱面,4.空间曲线,一般方程：,参数方程：,空间曲线在坐标面上的投影：,从曲线的方程组中，消去一个变量。,1.连续的定义,三、多元函数微分学,连续：极限值 = 函数值,会借鉴一元函数的方式求极限值,会采用特殊路径的方式验证极限不存在,2.偏导数的计算,2.1 分段点，用定义求偏导,2.2 具体函数，用公式求偏导,上册，求导数的基本公式,2.3 抽象函数，用多元复合求导法则,2.4 隐函数，方程两边直接求偏导,与一元函数类似，理清变量之间的关系,理清变量关系：分道相加，连线相乘,3.全微分,如果可微，全增量可表示为：,如果有连续的偏导数，则：,多元函数连续、可导、可微的关系,4.方向导数,如果 f 可微，则：,5.偏导数的几何应用,空间曲线：,切向量：,法向量：,空间曲面：,法向量：,空间曲面：,一般步骤：找驻点，再判断,6.多元函数的极值,几何背景下的最值问题,四、重积分,化为多个定积分，上册基本的积分公式,1.1 直角坐标，X型域,1.2 直角坐标，Y型域,1.3 极坐标,三个基本圆型域,三种基本圆：,2.1 直角坐标，投影法【先单后重】,2.2 直角坐标，切片法【先重后单】,2.3 球面坐标,球面坐标与直角坐标的关系,体积元素:,两个基本球型域！,两个基本形状:,五、线面积分,1. 对弧长的曲线积分,化为定积分计算！,一代、二换、三定限,1.代：将积分曲线的方程代入被积函数，,2.换：换弧微元,3.定限：下限小参数，上限大参数,2. 对坐标的曲线积分,与曲线的方向有关！,化为定积分计算！,一代、二换、三定限,1.代：将积分曲线的方程代入被积函数，,2.换：,3.定限：下限起点参数，上限终点参数,两类曲线积分之间的关系,空间曲线积分：,3.格林公式,将平面上对坐标的曲线积分，转化为二重积分,注意条件：(a) L是封闭曲线；,(b) L是D的正向边界；,(c) P、Q在D上有一阶连续偏导。,L不封闭时，可以补充辅助线使之封闭；,被积式有奇点时，可用小封闭曲线挖去奇点。,此时可以考虑重新选择积分路径。,此时可以通过积分来求原函数：,4.对面积的曲面积分,化为二重积分计算！,计算方法“三选一”，取决于曲面方程的形式,曲面面积元素:,一投、二代、三换,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换曲面面积元素,投：将曲面投影到坐标面得投影区域,5.对坐标的曲面积分,化为二重积分计算！与曲面侧向有关！,三种形式各自方向不同，只能分开计算！,2代：将曲面的方程代入被积函数中；,1投：将积分曲面投影到指定的坐标面上；,3定号： 由曲面侧向，确定二重积分的正负号,一投、二代、三定号,两类曲面积分之间的联系,6.高斯公式,将对坐标的曲面积分，转化为三重积分,注意条件：(a) 是封闭曲面，取外侧；,(b) P、Q、R有一阶连续偏导。,不封闭时，可以补充辅助面使之封闭；,7.斯托克斯公式,将对坐标的曲线积分，转化为曲面积分,是围成的封闭曲面。,六、微分方程,1. 可分离变量的微分方程,形式：,分离变量：,两边积分：,隐式通解:,2. 一阶线性微分方程,形式：,通解公式：,也可用常数变异法求解,3. 二阶线性微分方程解的结构,齐次方程：,非齐次方程:,4. 二阶常系数齐次线性方程,特征方程:,5. 二阶常系数线性非齐次方程,非齐方程的通解：,(齐次通解 + 非齐特解),对应的齐次方程：,待定系数法求特解：,k是作为特征根的重数,k是(+i )作为特征根的重数,6. 其它一阶微分方程,伯努利方程:,齐次方程：,解法：作变量代换,解法：作变量代换,全微分方程:,原函数：,通解：,对于：,作变代：,对于：,作变代：,（不显含y）,（不显含x）,7. 其它二阶微分方程,七、无穷级数,1. 常数项级数,1.1 等比级数、p级数的敛散：,1.2 正项级数的敛散判别法,比值判别法,根值判别法,比较判别法,如果,1.3 交错级数的收敛判别法,莱布尼茨判别法,1.4 任意项级数的收敛判别法,分清绝对收敛与条件收敛,2.幂级数,2.1 收敛半径:,(缺项的幂级数，直接用比值判别法讨论),2.2 收敛区间: (-R,R),(收敛区间并不等同于收敛域),2.3 幂级数求和,等比级数求和公式：,通过逐项求导、逐项积分等，将一般幂级数化为上述形式，即可求和。,2.4 函数展开成幂级数,泰勒级数的形式：,间接展开法：,通过变量代换, 恒等运算, 逐项求导, 逐项积分等方法，从已知的展开式得到需要的展开式。,常用